用函数式的方式思考——递归

阅读数:1 2020 年 3 月 15 日 20:19

用函数式的方式思考——递归

在我们初学函数的时候,函数通常被描述为能独立完成一个功能的单元,并且通常以命令式的方式出现:

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function fact(n: number): number {
let result = 1;
for (let i = 0; i <= n; i += 1) {
result *= i;
}
return result;
}

代码是在操作数据,把一种形式的数据编程另一种形式。抽象的数据是一种数据,而显示在屏幕上的位图也是一种数据,当然必要的时候我们也可以把函数视作数据。我们可以得到一个数据到界面的映射关系,就像 React 提倡的那样:

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Model -> View

或者用函数的形式

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View = f(Model)

现在我们不讨论 React,只讨论函数本身。我们可以把函数,特别是纯函数,看作是数据的映射关系的具体形式。

举个例子,根据幂的递推公式 a[n]=a*a[n-1],我们可以很容易得到一个求幂的函数:

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function exp(a: number, n: number) {
return a * exp(a, n - 1);
}

这个函数很简洁,但是会招来担忧。首先它做了 n次函数调用,会有大量函数调用的开销;其次,它还有爆栈的风险。

于是,我们回到递推公式上来。首先我们得到这样一个映射关系:a*a[n-1]->a[n]那么显然,幂的实现应该是这样一个函数,其中 prev就是 a[n-1]

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function expImpl(a: number, prev: number): number;

这里还缺少一个递归的终止条件,我们把它加上:

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function expImpl(a: number, prev: number, i: number, n: number): number;

当然,实现也很简单:

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function expImpl(a: number, prev: number, i: number, n: number): number {
if (i >= n) {
return prev;
}
return expImpl(a, a * prev, i + 1, n);
}
function exp(a: number, n: number) {
return expImpl(a, 1, 0, n);
}

我们还可以做一个简单的优化,去掉一个变量:

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function expImpl(a: number, prev: number, i: number) {
if (i <= 0) {
return prev;
}
return expImpl(a, a * prev, i - 1);
}
function exp(a: number, n: number) {
return expImpl(a, 1, n);
}

这两个函数直接返回了另一个函数的执行结果,这种情形称为尾调用。而 expImpl恰好是个递归函数,这就构成了一个尾递归。现代的编译器都足够聪明,能够将其优化成等价的循环形式:

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function exp(a: number, n: number) {
let i = n;
let ret = 1;
while (i > 0) {
ret = ret * a;
i--;
}
return ret;
}

于是,我们的递归版本可以视作空间复杂度为 O(1) 时间复杂度为 O(n)。可惜的是,现代浏览器中只有 Safari 实现了这种优化。我们假定执行环境支持尾递归优化。根据数学上幂的定义,当 n 为偶数,我们有 (a^(n/2))^2=(a^2)^(n/2)。根据这个等式,我们可以得到计算幂递归的对数时间版本(当然,以及它等价的循环版本):

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function fastExpImpl(a: number, prev: number, i: number) {
if (i <= 0) {
return prev;
}
if (i % 2 === 0) {
return expImpl(a * a, prev, i / 2);
}
// 这里还可以做个小优化 expImpl(a * a, a * prev, (i - 1) / 2);
return expImpl(a, a * prev, i - 1);
}
function fastExp(a: number, n: number) {
return expImpl(a, 1, n);
}

用映射的思维,我们来讨论下老朋友,斐波那契数列。初学递归都能写出这样一个简单的递归版本:

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function fib(n: number): number {
if (n <= 2) {
return 1;
}
return fib(n - 1) + fib(n - 2);
}

显然,这不是一个优秀的实现。这里做了大量的重复计算,同时有爆栈的风险。根据斐波那契数列的递推公式,我们可以得到这样一个关系:

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a[n - 2] + a[n - 1] -> a[n]

因此这个函数应该是这样的,其中 a代表 a[n-1]b代表 a[n-2]

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function fibImpl(a: number, b: number): number;

这里还缺少递归的终止条件:

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function fibImpl(a: number, b: number, i: number, n: number): number;

当然,和计算幂的时候一样,我们可以优化掉一个参数,于是得到了一个简单的空间复杂度为 O(1),时间复杂度为 O(n) 的递归版本:

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function fibImpl(a: number, b: number, i: number): number {
if (i <= 1) {
return a;
}
return fibImpl(a + b, a, i - 1);
}
function fib(n: number): number {
return fibImpl(1, 0, n);
}

以及等价的循环版本:

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function fib(n: number): number {
let a = 1;
let b = 0;
let i = n;
while (i > 1) {
a = a + b;
b = a;
i--;
}
return a;
}

在这个版本中,我们有这样一组变换规则:

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a <- a + b
b <- a

我们称之为 T 变换。通过观察可以发现,从 1 和 0 开始将 T 反复应用 n次将产生出一对数 Fib(n+1)Fib(n)。换句话说,斐波那契数可以通过将 T(n)(变换 T 的 n 次方)应用于对偶 (1,0)而产生出来。现在将 T 看作是变换族 T(p,q)p=0q=1的特殊情况,其中 T(p,q)是对于对偶 (a,b)按照 a<-bq+aq+apb<-bp+aq规则的变换。请证明,如果我们应用变换 T(p,q)两次,其效果等同于应用同样形式的一次变换 T(p', q'),其中 p'q'可以由 pq计算出来。这样,就像 fastExp一样,我们可以得到一个空间复杂度为 O(1),时间复杂度为 O(log n) 的斐波那契数列函数。这是《计算机程序的构造和解释》的练习 1.19,你可以自行完成这个过程。

通过对老朋友斐波那契数列的思考,我们发现,通过函数式的方式思考可以有效的简化问题,从而得到一个简单的递归版本。当我们的执行环境不具备自动优化尾调用的时候,在必要的情况下,我们可以很容易的手动把它优化为一个等价的循环形式。这就是函数式思维带来的优势。

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