编者按：本文节选自图灵程序设计丛书《深度学习入门》一书中的部分章节。

现在我们来进行神经网络的实现。这里我们以图 1 的 3 层神经网络为对象，实现从输入到输出的（前向）处理。在代码实现方面，使用上一节介绍的 NumPy 多维数组。巧妙地使用 NumPy 数组，可以用很少的代码完成神经网络的前向处理。

图 1　3 层神经网络：输入层（第 0 层）有 2 个神经元，第 1 个隐藏层（第 1 层）有 3 个神经元，第 2 个隐藏层（第 2 层）有 2 个神经元，输出层（第 3 层）有 2 个神经元

符号确认

在介绍神经网络中的处理之前，我们先导入 $w^{(1)}{12}$、$a^{(1)}{1}$ 等符号。这些符号可能看上去有些复杂，不过因为只在本节使用，稍微读一下就跳过去也问题不大。

本节的重点是神经网络的运算可以作为矩阵运算打包进行。因为神经网络各层的运算是通过矩阵的乘法运算打包进行的（从宏观视角来考虑），所以即便忘了（未记忆）具体的符号规则，也不影响理解后面的内容。

我们先从定义符号开始。请看图 2。图 2 中只突出显示了从输入层神经元 $x_2$ 到后一层的神经元 $a^{(1)}_{1}$ 的权重。

如图 2 所示，权重和隐藏层的神经元的右上角有一个“(1)”，它表示权重和神经元的层号（即第 1 层的权重、第 1 层的神经元）。此外，权重的右下角有两个数字，它们是后一层的神经元和前一层的神经元的索引号。比如，$w^{(1)}{12}$ 表示前一层的第 2 个神经元 $x_2$ 到后一层的第 1 个神经元 $a^{(1)}{1}$ 的权重。权重右下角按照“后一层的索引号、前一层的索引号”的顺序排列。

图 2　权重的符号

各层间信号传递的实现

现在看一下从输入层到第 1 层的第 1 个神经元的信号传递过程，如图 3 所示。

图 3　从输入层到第 1 层的信号传递

图 3 中增加了表示偏置的神经元“1”。请注意，偏置的右下角的索引号只有一个。这是因为前一层的偏置神经元（神经元“1”）只有一个 ¹。

^{1 任何前一层的偏置神经元“1”都只有一个。偏置权重的数量取决于后一层的神经元的数量（不包括后一层的偏置神经元“1”）。——译者注}

为了确认前面的内容，现在用数学式表示 $a^{(1)}{1}$。$a^{(1)}{1}$ 通过加权信号和偏置的和按如下方式进行计算。

$a^{(1)}{1}=w^{(1)}{11}x_1+w^{(1)}{12}x_2+b^{(1)}{1}\quad\quad\quad\quad\quad(3.8)$

此外，如果使用矩阵的乘法运算，则可以将第 1 层的加权和表示成下面的式（3.9）。

$\boldsymbol{A}^{(1)}=\boldsymbol{XW}^{(1)}+\boldsymbol{B}^{(1)}\quad\quad\quad\quad\quad(3.9)$

其中，$\boldsymbol{A}^{(1)}$、$\boldsymbol{X}$、$\boldsymbol{B}^{(1)}$、$\boldsymbol{W}^{(1)}$ 如下所示。

$\begin{aligned}&\boldsymbol{A}^{(1)}=\Bigl(a_1^{(1)}~~~a_2^{(1)}~~~a_3^{(1)}\Bigr),~\boldsymbol{X}=\Bigl(x_1~~~x_2\Bigr),~\boldsymbol{B}^{(1)}=\Bigl(b_1^{(1)}~~~b_2^{(1)}~~~b_3^{(1)}\Bigr)\&\boldsymbol{W}^{(1)}=\begin{pmatrix}w^{(1)}{11}&w^{(1)}{21}&w^{(1)}{31}\w^{(1)}{12}&w^{(1)}{22}&w^{(1)}{32}\end{pmatrix}\end{aligned}$

下面我们用 NumPy 多维数组来实现式（3.9），这里将输入信号、权重、偏置设置成任意值。

X = np.array([1.0, 0.5])
W1 = np.array([[0.1, 0.3, 0.5], [0.2, 0.4, 0.6]])
B1 = np.array([0.1, 0.2, 0.3])

print(W1.shape) #  (2, 3)
print(X.shape) #  (2,)
print(B1.shape) #  (3,)

A1 = np.dot(X, W1) + B1

这个运算和上一节进行的运算是一样的。W1 是 2 × 3 的数组，X 是元素个数为 2 的一维数组。这里，W1 和 X 的对应维度的元素个数也保持了一致。

接下来，我们观察第 1 层中激活函数的计算过程。如果把这个计算过程用图来表示的话，则如图 4 所示。

图 4　从输入层到第 1 层的信号传递

如图 4 所示，隐藏层的加权和（加权信号和偏置的总和）用 $a$ 表示，被激活函数转换后的信号用 $z$ 表示。此外，图中 $h()$ 表示激活函数，这里我们使用的是 sigmoid 函数。用 Python 来实现，代码如下所示。

Z1 = sigmoid(A1)

print(A1) #  [0.3, 0.7, 1.1]
print(Z1) #  [0.57444252, 0.66818777, 0.75026011]

这个 sigmoid() 函数就是之前定义的那个函数。它会接收 NumPy 数组，并返回元素个数相同的 NumPy 数组。

下面，我们来实现第 1 层到第 2 层的信号传递（图 5）。

W2 = np.array([[0.1, 0.4], [0.2, 0.5], [0.3, 0.6]])
B2 = np.array([0.1, 0.2])

print(Z1.shape) #  (3,)
print(W2.shape) #  (3, 2)
print(B2.shape) #  (2,)

A2 = np.dot(Z1, W2) + B2
Z2 = sigmoid(A2)

除了第 1 层的输出（Z1）变成了第 2 层的输入这一点以外，这个实现和刚才的代码完全相同。由此可知，通过使用 NumPy 数组，可以将层到层的信号传递过程简单地写出来。

图 5　第 1 层到第 2 层的信号传递

最后是第 2 层到输出层的信号传递（图 6）。输出层的实现也和之前的实现基本相同。不过，最后的激活函数和之前的隐藏层有所不同。

def identity_function(x):
    return x

W3 = np.array([[0.1, 0.3], [0.2, 0.4]])
B3 = np.array([0.1, 0.2])

A3 = np.dot(Z2, W3) + B3
Y = identity_function(A3) #  或者Y = A3

这里我们定义了 identity_function() 函数（也称为“恒等函数”），并将其作为输出层的激活函数。恒等函数会将输入按原样输出，因此，这个例子中没有必要特意定义 identity_function()。这里这样实现只是为了和之前的流程保持统一。另外，图 6 中，输出层的激活函数用 $\sigma$ 表示，不同于隐藏层的激活函数 $h()$（$\sigma$ 读作 sigma）。

图 6　从第 2 层到输出层的信号传递

输出层所用的激活函数，要根据求解问题的性质决定。一般地，回归问题可以使用恒等函数，二元分类问题可以使用 sigmoid 函数，多元分类问题可以使用 softmax 函数。关于输出层的激活函数，我们将在下一节详细介绍。

代码实现小结

至此，我们已经介绍完了 3 层神经网络的实现。现在我们把之前的代码实现全部整理一下。这里，我们按照神经网络的实现惯例，只把权重记为大写字母 W1，其他的（偏置或中间结果等）都用小写字母表示。

def init_network():
    network = {}
    network['W1'] = np.array([[0.1, 0.3, 0.5], [0.2, 0.4, 0.6]])
    network['b1'] = np.array([0.1, 0.2, 0.3])
    network['W2'] = np.array([[0.1, 0.4], [0.2, 0.5], [0.3, 0.6]])
    network['b2'] = np.array([0.1, 0.2])
    network['W3'] = np.array([[0.1, 0.3], [0.2, 0.4]])
    network['b3'] = np.array([0.1, 0.2])

    return network

def forward(network, x):
    W1, W2, W3 = network['W1'], network['W2'], network['W3']
    b1, b2, b3 = network['b1'], network['b2'], network['b3']

    a1 = np.dot(x, W1) + b1
    z1 = sigmoid(a1)
    a2 = np.dot(z1, W2) + b2
    z2 = sigmoid(a2)
    a3 = np.dot(z2, W3) + b3
    y = identity_function(a3)

    return y

network = init_network()
x = np.array([1.0, 0.5])
y = forward(network, x)
print(y) #  [ 0.31682708 0.69627909]

这里定义了 init_network() 和 forward() 函数。init_network() 函数会进行权重和偏置的初始化，并将它们保存在字典变量 network 中。这个字典变量 network 中保存了每一层所需的参数（权重和偏置）。forward() 函数中则封装了将输入信号转换为输出信号的处理过程。

另外，这里出现了 forward（前向）一词，它表示的是从输入到输出方向的传递处理。后面在进行神经网络的训练时，我们将介绍后向（backward，从输出到输入方向）的处理。

至此，神经网络的前向处理的实现就完成了。通过巧妙地使用 NumPy 多维数组，我们高效地实现了神经网络。

图书简介：https://www.ituring.com.cn/book/1921

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