普林斯顿微积分读本(修订版)(9):函数、图像和直线 1.2.3

阅读数:6 2019 年 11 月 24 日 22:42

普林斯顿微积分读本(修订版)(9):函数、图像和直线 1.2.3

(限制定义域)

内容简介
本书是作者多年来给普林斯顿大学本科一年级学生开设微积分的每周复习课。本书专注于讲述解题技巧,目的是帮助读者学习一元微积分的主要概念。深入处理一些基本内容,还复习一些主题。本书不仅可以作为参考书,也可以作为教材,定会成为任何一位需要微积分知识人学习一元微积分的非常好的指导书。

最后要处理第三个问题 : 如果水平线检验失败因而没有反函数, 那应该怎么办呢?我们面临的问题是, 对于相同的 y 有多个 x 值. 解决此问题的唯一方法是:除了这多个 x 值中的一个, 我们放弃所有其他值. 也就是说, 必须决定要保留哪一个 x 值, 然后放弃剩余的值. 正如我们在 1.1 节中看到的, 这称为限制函数的定义域. 实质上, 我们删去部分曲线, 使得保留下来的部分能够通过水平线检验. 例如 g (x) = x2, 可以删除左半边的图像, 如图 1-6 所示.

普林斯顿微积分读本(修订版)(9):函数、图像和直线 1.2.3

图 1-6

这条新的 (实线的) 曲线将定义域缩减为 [0, ∞), 并且满足水平线检验, 所以它有反函数. 更确切地说, 定义在定义域 [0, ∞) 上的函数 h 有反函数, 其中 h (x) = x2. 让我们用镜面反射游戏来看一下它到底是什么样子的.

为了找到反函数的方程, 我们必须在方程 y = x2 中解出 x. 很明显, 问题的解就是 x=yx=y, 但是我们需要哪一个呢?我们知道反函数的值域和原始函数的定义域是相同的, 而后者被限制为 [0, ∞), 所以我们需要一个非负的数来作为答案, 即 x=y. 这就是说, h1(y)=y. 当然, 也可以把原始图像的右半边删除, 将定义域限制为 (-∞, 0]. 在那种情况下, 我们得到一个定义域为 (-∞, 0] 的函数 j. 它也满足 j (x) = x2, 但只是在这个定义域上才成立. 这个函数也有反函数, 反函数是负的平方根, 即 j1(y)=y, 如图 1-7 所示.

普林斯顿微积分读本(修订版)(9):函数、图像和直线 1.2.3

图 1-7

顺便说一下, 如果你让没有通过水平线检验的、定义域为 (-∞, ∞) 的原始函数 g(x) = x2 在镜子 y = x 中反射, 那么你会得到如图 1-8 所示的图像.

普林斯顿微积分读本(修订版)(9):函数、图像和直线 1.2.3

图 1-8

注意到这个图像不会通过垂线检验, 所以它不是函数的图像. 这说明了垂线检验和水平线检验之间的联系, 即水平线被镜子 y = x 反射后会变成垂线.

普林斯顿微积分读本(修订版)(9):函数、图像和直线 1.2.3

图灵地址 http://www.ituring.com.cn/book/1623

评论

发布