普林斯顿微积分读本(修订版)(25):极限导论 3.5

阅读数:7 2019 年 11 月 28 日 15:17

普林斯顿微积分读本(修订版)(25):极限导论 3.5

(关于渐近线的两个常见误解)

内容简介
本书是作者多年来给普林斯顿大学本科一年级学生开设微积分的每周复习课。本书专注于讲述解题技巧,目的是帮助读者学习一元微积分的主要概念。深入处理一些基本内容,还复习一些主题。本书不仅可以作为参考书,也可以作为教材,定会成为任何一位需要微积分知识人学习一元微积分的非常好的指导书。

现在是时候来纠正一些关于水平渐近线的常见误解了. 首先, 一个函数不一定要在左右两边有相同的水平渐近线. 在 3.3 节 f (x) = 1/x 的图像中, 左右两侧都有 y = 0 这条水平渐近线. 也就是说,

limx1x=0 和 limx1x=0.

然而, 考虑图 3-10 中 y = tan-1 (x) (或反三角函数 y = arctan (x), 你可以使用这两种写法中的任意一种) 的图像.

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图 3-10

此函数在 y = π/2 处有一条右侧水平渐近线, 在 y = -π/2 处有一条左侧水平渐近线, 它们是不同的. 也可以用极限来表示:

普林斯顿微积分读本(修订版)(25):极限导论 3.5

因此, 一个函数的确可以有不同的右侧和左侧水平渐近线, 但最多只能有两条水平渐近线 (一条在右侧, 另一条在左侧). 它也有可能一条都没有, 或者只有一条. 例如, y = 2x 有一条左侧水平渐近线, 但没有右侧水平渐近线 (参见 1.6 节的图像). 这和垂直渐近线相反:一个函数可以有很多条垂直渐近线 (例如, y = tan (x) 有无穷多条垂直渐近线).

另外一个常见误解是, 一个函数不可能和它的渐近线相交. 或许你曾学到, 渐近线是一条函数越来越接近但永远不会相交的直线. 这并不正确, 至少当你讨论的是水平渐近线时. 例如, 考虑定义为 f (x) = sin (x) /x 的函数 f , 这里我们只关心当 x 是很大的正数时的函数行为. sin (x) 的值在 -1 和 1 之间振荡, 因此, sin (x) /x 的值在曲线 y = -1/xy = 1/x 之间振荡. 此外, sin (x) /x 和 sin (x) 有相同的零点, 即 π, 2π, 3π, ··· . 综合所有的信息, 其图像如图 3-11 所示.

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图 3-11

图像中用虚线表示的曲线 y = 1/xy = -1/x 形成了正弦波的包络. 毫无疑问, 正如你从图像中看到的,

limxsin(x)x=0

必定成立. 这意味着, x 轴是 f 的水平渐近线, 尽管 y = f (x) 的图像与 x 轴一次又一次地相交. 为了证明上述极限, 我们需要应用所谓的三明治定理. 这个证明就在下一节的结尾部分.

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图灵地址 http://www.ituring.com.cn/book/1623

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