普林斯顿微积分读本(修订版)(26):极限导论 3.6

阅读数:5 2019 年 11 月 28 日 15:17

普林斯顿微积分读本(修订版)(26):极限导论 3.6

(三明治定理)

内容简介
本书是作者多年来给普林斯顿大学本科一年级学生开设微积分的每周复习课。本书专注于讲述解题技巧,目的是帮助读者学习一元微积分的主要概念。深入处理一些基本内容,还复习一些主题。本书不仅可以作为参考书,也可以作为教材,定会成为任何一位需要微积分知识人学习一元微积分的非常好的指导书。

三明治定理 (又称作夹逼定理) 说的是, 如果一个函数 f 被夹在函数 gh 之间, 当 xa 时, 这两个函数 gh 都收敛于同一个极限 L, 那么当 xa 时, f 也收敛于极限 L.

以下是对该定理的一个更精确的描述. 假设对于所有的在 a 附近的 x, 我们都有 g (x) ≤ f (x) ≤ h (x), 即 f (x) 被夹在 g (x) 和 h (x) 之间. 此外, 我们假设 limxag(x)=Llimxah(x)=L. 那么我们可以得出结论:limxaf(x)=L; 即当 xa 时, 所有三个函数都有相同的极限. 一如往常, 一图胜千言 (见图 3-12).

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图 3-12

在图像中用实线表示的函数 f 被夹在其他两个函数 gh 之间 ; 当 xa 时, f (x) 的极限被迫趋于 L. (三明治定理的证明参见附录 A 的 A.2.4 节. )

对于单侧极限, 我们也有一个类似版本的三明治定理, 只是这时不等式 g (x) ≤ f (x) ≤ h (x) 仅在 a 的我们关心的一侧成立. 例如,

limx0+xsin(1x)

是什么呢?y = x sin (1/x) 的图像和 y = sin (1/x) 的图像很相似, 只是现在, 前面有一个 x 致使函数陷于包络 y = xy = -x 之间. 图 3-13 是 x 在 0 和 0.3 之间时的函数图像.

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图 3-13

从图中可以看到, 当 x 趋于 0 时, 函数仍旧有激烈的振荡, 但现在它们被包络线抑制着. 特别是, 这里求我们想要的极限正是三明治定理的一个完美应用. 函数 g 是下方的包络线 y = -x, 而函数 h 是上方的包络线 y = x. 我们需要证明对于 x > 0, 有 g (x) ≤ f (x) ≤ h (x). 由于只需要 f (x) 在 x = 0 处的右极限, 所以我们不关心 x < 0 时的情况. (事实上, 如果扩展到 x 轴负半轴, 你可以看到, 对于 x < 0, g (x) 实际大于 h (x), 所以三明治要翻个身!) 那么当 x > 0 时, 要怎样证明 g (x) ≤ f (x) ≤ h(x) 呢? 我们将会用到任意数 (在我们的例子中是 1/x) 的正弦都处于 -1 和 1 之间这一事实:

1sin(1x)1.

现在用 x 乘以这个不等式, 由于 x > 0, 得到

xxsin(1x)x.

而这正是我们需要的 g (x) ≤ f (x) ≤ h (x). 最后, 注意到

limx0+g(x)=limx0+(x)=0 及 limx0+h(x)=limx0+x=0.

因此, 由于当 x → 0+ 时, 夹逼的函数 g (x) 和 h (x) 的值收敛于同一个数 0, 所有 f (x) 也一样. 也就是说, 证明了

limx0+xsin(1x)=0.

要记住, 如果前面没有因子 _x_, 上式显然不成立 ; 正如我们在 3.3 节看到的, 当 x → 0+ 时, sin (1/x) 的极限不存在.

我们还没有解决上一节结尾部分的那个极限证明问题! 回想一下, 要证明的是

limxsin(x)x=0.

为了证明此式, 需要用到三明治定理一个稍有不同的形式, 涉及在 ∞ 处的极限. 在这种情况下, 如果对于所有的很大的 x, 都有 g (x) ≤ f (x) ≤ h (x) 成立 ; 又如果已知 limxg(x)=Llimxh(x)=L. 就可以说, limxf(x)=L. 这与有限处极限的三明治定理几乎是一样的. 为了确立上述极限, 还要用到, 对于所有的 x, 都有 -1 ≤ sin (x) ≤ 1, 但这次, 对于所有的 x > 0, 要用该不等式除以 x 得到

1xsin(x)x1x.

现在, 令 x → ∞, 由于 -1/x 和 1/x 的极限都是 0, sin (x) /x 的极限也必为 0. 也就是说, 由于

limx1x=0 和 limx1x=0,

也必有

limxsin(x)x=0.

综上, 三明治定理说的是:

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这也适用于左极限或右极限 ; 在那种情况下, 不等式只需要在 a 的相应一侧对于 x 成立即可. 当 a 是 ∞ 或 -∞ 时它也适用 ; 在那种情况下, 要求对于所有的非常大的 (分别是正的或负的)x, 不等式成立.

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图灵地址 http://www.ituring.com.cn/book/1623

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