普林斯顿微积分读本(修订版)(24):极限导论 3.4

阅读数:4 2019 年 11 月 28 日 15:17

普林斯顿微积分读本(修订版)(24):极限导论 3.4

(在 ∞ 和 -∞ 处的极限)

内容简介
本书是作者多年来给普林斯顿大学本科一年级学生开设微积分的每周复习课。本书专注于讲述解题技巧,目的是帮助读者学习一元微积分的主要概念。深入处理一些基本内容,还复习一些主题。本书不仅可以作为参考书,也可以作为教材,定会成为任何一位需要微积分知识人学习一元微积分的非常好的指导书。

还有一类需要研究的极限. 我们已经研究了在接近一点 x = a 时的函数行为. 然而在有些情况下, 重要的是要理解当 x 变得非常大时, 一个函数的行为如何. 换句话说, 我们感兴趣的是, 研究当变量 x 趋于 ∞ 时函数的行为. 我们想写出

limxf(x)=L,

并以此表示, 当 x 很大的时候, f (x) 变得非常接近于值 L, 并保持这种接近的状态. (更多详情请参见附录 A 的 A.3.3 节. ) 重要的是要意识到, 写出 “limxf(x)=L” 表示 f 的图像在 y = L 处有一条右侧水平渐近线. 类似地, 当 x 趋于 -∞ 时, 我们写出

limxf(x)=L,

它表示当 x 变得越来越负 (或者更确切地说, -x 变得越来越大) 时, f (x) 会变得非常接近于值 L, 并保持接近的状态. 当然, 这对应于函数 y = f (x) 的图像有一条左侧水平渐近线. 如果愿意, 你也可以把这些转化为定义:

普林斯顿微积分读本(修订版)(24):极限导论 3.4

当然, 像 y = x2 这样的函数没有任何水平渐近线, 因为当 x 变得越来越大时, y 值只会无限上升. 用符号表示, 我们可以写作 limxx2=. 反过来, 极限也有可能不存在. 例如, limxsin(x). sin (x) 会变得越来越接近何值 (并保持这种接近状态) 呢?它只是在 -1 和 1 之间来回振荡, 因此绝不会真正地接近任何地方. 此函数没有水平渐近线, 也不会趋于 ∞ 或 -∞; 你所能作的最好回答是, limxsin(x) 不存在 (DNE). 证明请参见附录 A 的 A.3.4 节.

让我们回到上一节看到的函数 f , 其定义为 f (x) = sin (1/x). 当 x 变得非常大时会怎么样呢?首先, 当 x 很大时, 1/x 会非常接近于 0. 由于 sin (0) = 0, 那么 sin (1/x) 就会非常接近于 0. x 越大, sin (1/x) 就会越来越接近于 0. 我的论证有点粗略, 但希望能说服你相信1

1 如果你不信, 请参见附录 A 的 A.4.1 节!

limxsin(1/x)=0.

因此, sin (1/x) 在 y = 0 处有一条水平渐近线. 这就能够扩展我们之前画的 y = sin (1/x) 的图像, 至少是向右边做扩展. 我们仍旧担心当 x < 0 时会发生什么. 事情不是太糟糕, 因为 f 是一个奇函数. 理由是

f(x)=sin(1x)=sin(1x)=sin(1x)=f(x).

注意到我们使用了 sin (x) 是 x 的奇函数的事实来由 sin (-1/x) 得到 -sin (1/x). 这样一来, 由于奇函数有一个很好的性质, 就是其图像关于原点对称 (参见 1.4 节), 可以完整地画出 y = sin (1/x) 的图像, 如图 3-8 所示.

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图 3-8

同样, 很难画出当 x 在 0 附近时的情况. x 越接近 0, 此函数就会振荡得越激烈. 当然, 该函数在 x = 0 处无意义. 在上图中, 我选择避免在中间画得密密麻麻, 而是把那里的激烈振荡留给你想象.

大的数和小的数

希望我们都认同 1 000 000 000 000 是一个大的数. 那么 -1 000 000 000 000 呢?或许这会引起争议, 但我要让你把它看作是一个大的负数, 而不是一个小的数. 举个小的数的例子, 0.000 000 001, 同时 -0.000 000 001 也是一个小的数 (更确切地说, 是一个小的负数). 有趣的是, 我们不打算把 0 看作是个小的数:它就是零. 因此, 下面就是我们对于大的数和小的数的非正式定义:

  • 如果一个数的绝对值是非常大的数, 则这个数是大的;
  • 如果一个数非常接近于 0(但不是真的等于 0), 则这个数是小的.

尽管上述定义在我们的实际应用中很有帮助, 但这实在是一个没有说服力的定义. “非常大” 和 “非常接近于 0” 分别意味着什么?好吧, 我们考虑极限

limxf(x)=L.

正如之前看到的, 它表示当 x 是一个足够大的数时, f (x) 的值就会几乎等于 L. 可问题是, 多大才是 “足够大” 呢?这取决于你想让 f (x) 距离 L 有多近! 不过, 从实际应用的角度出发, 如果 y = f (x) 的图像看上去开始变得靠近在 y = L 的水平渐近线, 那么这个数 x 足够大. 当然, 一切都依赖于函数 f 的定义, 例如图 3-9 中的两种情况.

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图 3-9

在这两种情况下, f (10) 都不在 L 的附近. 在左图中, 当 x 至少是 100 时, f (x) 看上去非常接近于 L, 因此, 任何比 100 大的数都是大数. 在右图中, f (100) 远离 L, 因此, 现在的 100 就不是足够大了. 在这种情形下, 你可能需要走到 200. 那么你能够只选取一个像 1 000 000 000 000 这样的数, 然后说它已经很大了吗?不可以, 因为一个函数有可能一直起伏不定, 直到比如 5 000 000 000 000 才变得趋于它的水平渐近线. 这里的要点是, “大的” 一词必须考虑到相关的某个函数或极限才有意义. 幸好, 没有最大, 只有更大, 往上还大有余地 —— 甚至一个像 1 000 000 000 000 这样的数, 相对于 10100 (古戈尔) 来说还是相当小, 而 10100 与 101 000 000 比起来又是那么微不足道 …… 顺便说一下, 我们会经常使用术语 “在 ∞ 附近” 来代替 “大的正的数”. (在字面意义上说, 一个数不可能真的在 ∞ 附近, 因为 ∞ 无穷远. 不过在 x → ∞ 时的极限的语境中, “在 ∞ 附近” 的说法还是说得通的.)

当然, 所有这些也都适用于 x → -∞ 时的极限, 你只需在上述所有大的正的数之前添加一个负号. 在这种情况下, 我们有时会说 “在 -∞ 附近” 来强调我们所指的是大的负的数.

另一方面, 我们会经常看到极限

limx0f(x)=L,limx0+f(x)=L 或 limx0f(x)=L.

在上述三种情况下, 我们知道, 当 x 足够接近于 0 时, f (x) 的值几乎是 L. (对于右极限, x 还必须为正 ; 而对于左极限, x 还必须为负. ) 那么 x 必须离 0 多近呢?这取决于函数 f . 因此, 当说一个数是 “小的”(或者 “接近于 0”) 时, 必须结合某个函数或极限的语境来考虑, 就像在 “大的” 情形中一样.

尽管这一番讨论让之前的非正式定义确实变得更严谨了一些, 但它仍不算完美. 如果你想了解更多, 真的应该查看一下附录 A 的 A.1 节和 A.3.3 节.

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图灵地址 http://www.ituring.com.cn/book/1623

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