普林斯顿微积分读本(修订版)(23):极限导论 3.3

阅读数:5 2019 年 11 月 28 日 15:17

普林斯顿微积分读本(修订版)(23):极限导论 3.3

(何时不存在极限)

内容简介
本书是作者多年来给普林斯顿大学本科一年级学生开设微积分的每周复习课。本书专注于讲述解题技巧,目的是帮助读者学习一元微积分的主要概念。深入处理一些基本内容,还复习一些主题。本书不仅可以作为参考书,也可以作为教材,定会成为任何一位需要微积分知识人学习一元微积分的非常好的指导书。

我们刚刚看到, 当相应的左极限和右极限不相等时双侧极限不存在. 这里有一个更戏剧性的例子. 考虑 f (x) = 1/x 的图像, 如图 3-4 所示. $\lim_{x\to0}f(x)$ 是什么呢? 双侧极限在那里不大可能存在. 因此, 我们先来试着求一下右极限, $\lim_{x\to0^+}f(x)$. 看一下图像, 当 x 是正的且接近于 0 时, f (x) 看起来好像非常大. 特别是, 当 x 从右侧滑到 0 时, 它看起来并不接近于任何数 ; 它就是变得越来越大了. 但会有多大呢? 它会比你能想象到的任何数都大! 我们说该极限是无穷大, 并写作

$\lim_{x\to0^+}\frac{1}{x}=\infty.$

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图 3-4

类似地, 这里的左极限是 -∞, 因为当 x 上升至 0 时, f (x) 会变得越来越负. 这就是说,

$\lim_{x\to0^-}\frac{1}{x}=-\infty.$

由于左极限和右极限不相等, 故双侧极限显然不存在. 另一方面, 考虑函数 g, 其定义为 g (x) = 1/x2, 其图像如图 3-5 所示.

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图 3-5

此函数在 x = 0 处的左极限和右极限都是 ∞, 因此你也可以说 $\lim_{x\to0}1/x^2=\infty$. 顺便说一下, 现在我们有了一个关于 “垂直渐近线” 的正式定义:

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现在, 可能会出现左极限或右极限不存在的情况吗?答案是肯定的! 例如, 让我们来看一个怪异的函数 g, 其定义为 g (x) = sin (1/x). 此函数的图像看起来会是什么样的呢?首先, 让我们来看一下 x 的正值. 由于 sin (x) 在 x = π, 2π, 3π, ··· 上的值全为 0, 因而 sin (1/x) 在 1/x = π, 2π, 3π, ··· 上的值全为 0. 我们取其倒数, 会发现 sin (1/x) 在 $x=\frac{1}{\pi},\frac{1}{2\pi},\frac{1}{3\pi},\cdots$ 上的值全为 0. 这些数就是 sin (1/x) 的 x 轴截距. 在数轴上, 它们看起来如图 3-6 所示.

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图 3-6

正如你看到的, 当接近于 0 的时候, 它们都挤在了一起. 由于在每一个 x 轴截距之间, sin (x) 向上走到 1 或向下走到 -1, 因此, sin (1/x) 也一样. 把目前已知的画出来, 可得到图 3-7.

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图 3-7

那么 $\lim_{x\to0^+}\sin(1/x)$ 是什么呢?以上图像在 x = 0 附近很杂乱. 它无限地在 1 和 -1 之间振荡, 当你从右侧向 x = 0 处移动时, 振荡会越来越快. 这里没有垂直渐近线, 也没有极限1. 当 x 从右侧趋于 x = 0 时, 该函数不趋于任何数. 因此可以说, $\lim_{x\to0^+}\sin(1/x)$ 不存在 (DNE). 我们会在下一节将 y = sin (1/x) 的图像补充完整.

1 正式的证明请参见附录 A 的 A.3.4 节.

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图灵地址 http://www.ituring.com.cn/book/1623

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