普林斯顿微积分读本(修订版)(1):函数、图像和直线 1&1.1

阅读数:5 2019 年 11 月 24 日 22:35

普林斯顿微积分读本(修订版)(1):函数、图像和直线 1&1.1

(函数、图像和直线)

内容简介
本书是作者多年来给普林斯顿大学本科一年级学生开设微积分的每周复习课。本书专注于讲述解题技巧,目的是帮助读者学习一元微积分的主要概念。深入处理一些基本内容,还复习一些主题。本书不仅可以作为参考书,也可以作为教材,定会成为任何一位需要微积分知识人学习一元微积分的非常好的指导书。

不借助函数却想去做微积分, 这无疑会是你所能做的最无意义的事情之一. 如果微积分也有其营养成分表, 那么函数肯定会排在最前面, 而且是占一定优势. 因此, 本书的前两章旨在让你温习函数的主要性质. 本章包含对下列主题的回顾:

  • 函数, 其定义域、上域、值域和垂线检验 ;
  • 反函数和水平线检验 ;
  • 函数的复合 ;
  • 奇函数与偶函数 ;
  • 线性函数和多项式的图像, 以及对有理函数、指数函数和对数函数图像的简单回顾 ;
  • 如何处理绝对值.

下一章会涉及三角函数. 好啦, 就让我们开始吧, 一起来回顾一下到底什么是函数.


(函数)

函数是将一个对象转化为另一个对象的规则. 起始对象称为输入, 来自称为定义域的集合. 返回对象称为输出, 来自称为上域的集合.

来看一些函数的例子吧.

  • 假设你写出 f (x) = x2, 这就定义了一个函数 f , 它会将任何数变为自己的平方. 由于你没有说明其定义域或上域, 我们不妨假设它们都属于 R, 即所有实数的集合. 这样, 你就可以将任何实数平方, 并得到一个实数. 例如, f 将 2 变为 4、将 -1/2 变为 1/4, 将 1 变为 1. 最后一个变换根本没有什么变化, 但这没问题, 因为转变后的对象不需要有别于原始对象. 当你写出 f (2) = 4 的时候, 这实际上意味着 f 将 2 变为 4. 顺便要说的是, f 是一个变换规则, 而 f (x) 是把这个变换规则应用于变量 x 后得到的结果. 因此, 说 “f (x) 是一个函数” 是不正确的, 应该说 “f 是一个函数”.
  • 现在, 令 g (x) = x2, 其定义域仅包含大于或等于零的数 (这样的数称为非负的). 它看上去好像和函数 f 是一样的, 但它们实际不同, 因为各自的定义域不同. 例如, f (-1/2) = 1/4, 但 g (-1/2) 却是没有定义的. 函数 g 会拒绝非其定义域中的一切. 由于 gf 有相同的规则, 但 g 的定义域小于 f 的定义域, 因而我们说 g 是由限制 f 的定义域产生的.
  • 仍然令 f (x) = x2, f (马) 会是什么呢?这显然是无定义的, 因为你不能平方一匹马呀. 另一方面, 让我们指定 “h (x) = x 的腿的数目”, 其中 h 的定义域是所有动物的集合. 这样一来, 我们就会得到 h (马) = 4, h (蚂蚁) = 6, h (鲑鱼) = 0. 因为动物腿的数目不会是负数或者分数, 所以 h 的上域可以是所有非负整数的集合. 顺便问一下, h (2) 会是什么呢?当然, 这也是没有定义的, 因为 2 不在 h 的定义域中. “2”究竟会有几条腿呢?这个问题实际上没有任何意义. 你或许也可以认为 h (椅子) = 4, 因为多数椅子都有四条腿, 但这也没有意义, 因为椅子不是动物, 所以 “椅子” 不在 h 的定义域中. 也就是说, h (椅子) 是没有定义的.
  • 假设你有一条狗, 它叫 Junkster. 可怜的 Junkster 不幸患有消化不良症. 它吃点东西, 嚼一会儿, 试图消化食物, 可每次都失败, 都会吐出来. Junkster 将食物变成了 …… 我们可以令 “j (x) = Junkster 吃 x 时呕吐物的颜色”, 其中 j 的定义域是 Junkster 所吃的食物的集合, 其上域是所有颜色的集合. 为了使之有效, 我们必须认为如果 Junkster 吃了玉米面卷, 它的呕吐物始终是一种颜色 (假设是红色的吧). 如果有时候是红色的, 而有时候是绿色的, 那就不太好了. 一个函数必须给每一个有效的输入指定唯一的输出.

现在我们要来看看函数值域的概念. 值域是所有可能的输出所组成的集合. 你可以认为函数转变其定义域中的一切, 每次转变一个对象 ; 转变后的对象所组成的集合称作值域. 可能会有重复, 但这也没什么.

那么, 为什么值域和上域不是一回事呢?值域实际上是上域的一个子集. 上域是可能输出的集合, 而值域则是实际输出的集合. 下面给出上述函数的值域.

  • 如果 f (x) = x2, 其定义域和上域均为 R, 那么其值域是非负数的集合. 毕竟, 平方一个数, 其结果不可能是负数. 那你又如何知道值域是所有的非负数呢?其实, 如果平方每一个数, 结果一定包括所有的非负数. 例如, 平方 2 (或 2), 结果都是 2.
  • 如果 g (x) = x2, 其定义域仅为非负数, 但其上域仍是所有实数 R, 那么其值域还是非负数的集合. 当平方一个非负数时, 结果仍然会包括所有的非负数.
  • 如果 h (x) 是动物 x 的腿的数目, 那么其值域就是任何动物可能会有的腿的数目的集合. 我可以想到有 0、2、4、6 和 8 条腿的动物, 以及一些有更多条腿的小动物. 如果你还想到了个别的像失去一条或多条腿的动物, 那你也可以将 1、3、5 和 7 等其他可能的数加入其值域. 不管怎样, 这个函数的值域并不是很清晰. 要想了解真实的答案, 你或许得是一位生物学家.
  • 最后, 如果 j (x) 是 Junkster 吃 x 时呕吐物的颜色, 那么其值域就会包含所有可能的呕吐物的颜色. 我很怕去想它们会是什么样的, 但或许亮蓝色不在其中吧.

普林斯顿微积分读本(修订版)(1):函数、图像和直线 1&1.1

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