普林斯顿微积分读本(修订版)(11):函数、图像和直线 1.3

阅读数:6 2019 年 11 月 24 日 22:42

普林斯顿微积分读本(修订版)(11):函数、图像和直线 1.3

(函数的复合)

内容简介
本书是作者多年来给普林斯顿大学本科一年级学生开设微积分的每周复习课。本书专注于讲述解题技巧,目的是帮助读者学习一元微积分的主要概念。深入处理一些基本内容,还复习一些主题。本书不仅可以作为参考书,也可以作为教材,定会成为任何一位需要微积分知识人学习一元微积分的非常好的指导书。

假设有一个表达式为 g(x) = x2 的函数 g. 你可以将 x 替换成任何使函数有意义的对象, 如 g(y) = y2g(x + 5) = (x + 5)2. 后一个例子需要特别注意小括号, 若写成 g(x + 5) = x + 52 就是错的, 因为 x + 25 并不等于 (x + 5)2. 所以在替换过程中如果拿不准, 可用小括号. 也就是说, 如果你需将 f (x) 写成 f (某表达式), 可将每一个 x 替换成 (某表达式), 这时一定要加小括号. 唯一不需要加小括号的情况是, 当函数是指数函数时, 如 h(x) = 3x, 你可以写成 h(x2 + 6) = 3x2 +6. 不需要加小括号是因为你已经将 x2 + 6 写成上标了.

现在考虑定义为 f (x) = cos(x2) 的函数 f . 若给定一个数 x, 如何计算 f (x) 呢? 你会首先计算 x 的平方, 然后计算平方值的余弦. 鉴于我们可将 f (x) 的计算分解成前后相继的两个独立的计算, 我们也就可以将这些计算各描述成一个函数. 因此, 令 g(x) = x2, h(x) = cos(x). 为了模拟函数 f 是如何作用于输入值 x 的, 你可先将 x 输入到函数 g 进行求平方运算, 接着不必返回 g 的结果而直接让 g 将其结果作为函数 h 的输入, 然后 h 计算出一个最终的结果值, 该结果值当然是由函数 g 计算出的 x 平方值的余弦值. 这个过程恰恰模拟了 f , 故我们可以写出 f (x) = h(g(x)), 也可表示为 f = hg, 这里的圈表示 “与 …… 的复合”, 即 fgh复合. 换言之, fgh 的复合函数. 这里需要小心的是, 我们把 h 写在 g 的前面 (像平常一样从左向右读), 但计算时我们要先从 g 开始. 我承认这确实容易让人搞混, 但我也没办法 —— 你只能试着去接受.

练习求两个或多个函数的复合是很有用的. 例如, 若 g(x) = 2x, h(x) = 5_x_4, j(x) = 2_x_ - 1, 则函数 f = ghj 的表达式是什么? 我们只需从 j 开始, 将其代换到 h, 接着再将结果代换到 g, 可得

f(x)=g(h(j(x)))=g(h(2x1))=g(5(2x1)4)=25(2x1)4

同样, 你需要练习该过程的逆过程. 例如, 假定你开始于函数

f(x)=1tan(5log2(x+3)).

如何将 f 分解为几个简单函数呢?从函数式中找到 x, 首先需要加 3, 所以设 g(x) = x + 3; 然后要对所得值取以 2 为底的对数, 所以令 h(x) = log2(x); 接着需乘 5, 则设 j(x) = 5_x_; 再接着要求正切值, 因此令 k(x) = tan(x); 最后要取倒数, 于是令 m(x) = 1/x. 由上, 验证下式:

f(x)=m(k(j(h(g(x))))).

利用复合符号, 可以写成

f=mkjhg.

这并不是函数 f 的唯一分解形式. 例如, 我们可以将函数 hj 复合成另一个函数 n, 其中 n(x) = 5 log2(x). 然后你应该验证一下 n = jh

f=mkng.

或许最初 (包含 jh) 的分解较好一点, 因为它将 f 分解成更多的基本形式, 但第二种 (包含 n) 也没错, 毕竟 n(x) = 5 log2(x) 仍是关于 x 的较为简单的函数.

注意, 函数的复合并不是把它们相乘. 例如 f (x) = x2 sin(x), f 不是两个函数的复合, 因为对任意给定的 x, 计算 f (x) 的值需要求解 x2 和 sin(x)(先求哪个值都没关系, 这与复合函数不同), 然后将这两个值乘起来. 若令 g(x) = x2, h(x) = sin(x), 则我们可以写成 f (x) = g(x)h(x) 或 f = gh. 可将它与这两个函数的复合函数 j = gh, 即

j(x)=g(h(x))=g(sin(x))=(sin(x))2

j(x) = sin2(x) 比较一下. 函数 j 完全不同于乘积 x2 sin(x), 它同样不同于函数 k = hg. 函数 k 也是 gh 的复合函数, 不过是按另一个顺序的复合:

k(x)=h(g(x))=h(x2)=sin(x2).

k 是另一个完全不同的函数. 这个例子说明, 函数的乘积和复合是不同的, 且函数的复合与函数顺序有关系, 而函数的乘积与函数顺序无关.

复合函数另一个简单但重要的例子是, 将函数 fg(x) = x - a(a 是常数) 进行复合. 对复合得到的新函数 h(x) = f (x - a), 需要关注的是新函数 y = h(x) 和函数 y = f (x) 的图像是一样的, 只不过 y = h(x) 的函数图像向右平移了 a 个单位. 如果 a 是负的, 那么就是向左平移. (一种理解方式是, 向右平移 -3 个单位与向左平移 3 个单位是一样的. ) 那么如何画 y = (x - 1)2 的图像呢?就像画 y = x2 的图像一样, 只是用 x - 1 来代替 x. 所以可将函数 y =x2 的图像向右平移 1 个单位, 如图 1-9 所示.

普林斯顿微积分读本(修订版)(11):函数、图像和直线 1.3

图 1-9

类似地, y = (x + 2)2 的图像是将 y = x2 的图像向左平移 2 个单位, 可把 (x + 2) 理解为 (x - (-2)).

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图灵地址 http://www.ituring.com.cn/book/1623

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