普林斯顿微积分读本(修订版)(5):函数、图像和直线 1.1.4

阅读数:6 2019 年 11 月 24 日 22:42

普林斯顿微积分读本(修订版)(5):函数、图像和直线 1.1.4

(垂线检验)

内容简介
本书是作者多年来给普林斯顿大学本科一年级学生开设微积分的每周复习课。本书专注于讲述解题技巧,目的是帮助读者学习一元微积分的主要概念。深入处理一些基本内容,还复习一些主题。本书不仅可以作为参考书,也可以作为教材,定会成为任何一位需要微积分知识人学习一元微积分的非常好的指导书。

在上一节中, 我们利用一个函数的图像来求其值域. 函数的图像非常重要:它真正地展示了函数 “看起来是什么样子的”. 在第 12 章, 我们将会看到用来绘制函数图像的各种技巧, 但现在, 我很想提醒你注意的是垂线检验.

你可以在坐标平面上画任何你想画的图形, 但结果可能不是一个函数的图像. 那么函数的图像有什么特别之处呢?或者说, 什么是函数 f 的图像呢?它是所有坐标为 (x, f (x)) 的点的集合, 其中 xf 的定义域中. 还有另外一种方式来看待它. 我们以某个实数 x 开始. 如果 x 在定义域中, 你就画点 (x, f (x)), 当然这个点在 x 轴上的点 x 的正上方, 高度为 f (x). 如果 x 没有在定义域中, 你不能画任何点. 现在, 对于每一个实数 x, 我们重复这个过程, 从而构造出函数的图像.

这里的关键思想是, 你不可能有两个点有相同的 x 坐标. 换句话说, 在图像上没有两个点会落在相对于 x 轴的同一条垂线上. 要不然, 你又将如何知道在点 x 上方的两个或多个不同高度的点中, 哪一个是对应于 f (x) 的值呢?这样就有了垂线检验:如果你有某个图像并想知道它是否是函数的图像, 你就看看是否任何的垂线和图像相交多于一次. 如果是这样的话, 那它就不是函数的图像 ; 反之, 如果没有一条垂线和图像相交多于一次, 那么你的确面对的是函数的图像. 例如, 以原点为中心, 半径为三个单位的圆的图像, 如图 1-2 所示.

普林斯顿微积分读本(修订版)(5):函数、图像和直线 1.1.4

图 1-2

这么普通的对象应该是个函数, 对吗?不对, 让我们进行如图所示的垂线检验. 当然, 在 -3 的左边或 3 的右边都没有问题 (垂线甚至都没有击中图像), 这很好. 就连在 -3 或 3 上, 垂线和图像也仅仅有一次相交, 这也很好. 问题出在 x 落在区间 (-3, 3) 上时. 对于这其中的任意 x 值, 垂线通过 (x, 0) 和圆相交两次, 这就坏事了. 你不知道 f (x) 到底是对应上方的点还是下方的点.

最好的解决方法是把圆分成上下两个半圆, 并只选择上一半或者下一半. 整个圆的方程是 x2 + y2 = 9, 而上半圆的方程是 y=9x2, 下半圆的方程是 y=9x2. 这最后两个就是函数了, 定义域都是 [-3, 3]. 你可以以不同的方式来分割. 实际上, 你不是必须要把它分成半圆 (可以分割并改变上半圆和下半圆, 只要不违反垂线检验就行了). 例如, 图 1-3 也是一个函数的图像, 其定义域也是 [-3, 3].

垂线检验通过, 所以这确实是一个函数的图像.

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图 1-3

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