普林斯顿微积分读本(修订版)(22):极限导论 3.2

阅读数:5 2019 年 11 月 28 日 15:17

普林斯顿微积分读本(修订版)(22):极限导论 3.2

(左极限与右极限)

内容简介
本书是作者多年来给普林斯顿大学本科一年级学生开设微积分的每周复习课。本书专注于讲述解题技巧,目的是帮助读者学习一元微积分的主要概念。深入处理一些基本内容,还复习一些主题。本书不仅可以作为参考书,也可以作为教材,定会成为任何一位需要微积分知识人学习一元微积分的非常好的指导书。

我们已经看到, 极限描述了函数在一个定点附近的行为. 现在想想看, 你会如何描述图 3-3 中 h (x) 在 x = 3 附近的行为.

普林斯顿微积分读本(修订版)(22):极限导论 3.2

图 3-3

当然, 就趋于极限的行为而言, h (3) = 2 实际上是无关紧要的. 现在, 当你从左侧接近于 x = 3 时会发生什么呢?想象一下, 你是图中的远足者, 顺着山势上下. h (x) 的值会告诉你, 当你的水平位置是 x 时, 你所在高度是多少. 因此, 如果你从图的左边向右走, 那么当你的水平位置接近于 3 时, 你所在高度就会接近于 1. 当然, 当到达 x = 3 时你会陡然坠落 (更不用说那个古怪的小突起), 但暂时我们不关心. 这时任何在 x = 3 右侧的值, 包含 x = 3 本身对应的值, 都是无关紧要的. 因此, 就可以看到 h (x) 在 x = 3 的左极限等于 1.

另一方面, 如果你从图的右边向左走, 那么当你的水平位置接近于 x = 3 时, 你所在高度就会接近于 -2. 这就是说, h (x) 在 x = 3 的右极限等于 -2. 这时任何在 x = 3 左侧 (包含 x = 3 本身) 的值都是无关紧要的.

可将上述发现总结如下:

limx3h(x)=1 及 limx3+h(x)=2.

在上面第一个极限中 3 后的小减号表示该极限是一个左极限, 第二个极限中 3 后的小加号表示该极限是一个右极限. 要在 3 的后面写上减号或加号, 而不是在前面, 这是非常重要的! 例如, 如果你写成

limx3h(x),

那么指的是 h (x) 在 x = -3 时的通常的双侧极限, 而不是 h (x) 在 x = 3 时的左极限. 这确实是两个完全不同的概念. 顺便说一下, 在左极限的极限符号底下写 x → 3+ 的理由是, 此极限只涉及小于 3 的 x 的值. 也就是说, 你需要在 3 上减一点点来看会有什么情况发生. 类似地, 对于右极限, 当你写 x → 3+ 的时候, 这意味着你只需要考虑如果在 3 上加一点点会有什么情况发生.

正如我们将在下一节看到的, 极限不是总存在的. 但这里的要点是:通常的双侧极限在 x = a 处存在, 仅当左极限和右极限在 x = a 处都存在且相等! 在这种情况下, 这三个极限 (双侧极限、左极限和右极限) 都是一样的. 用数学的语言描述, 我们说,

limxaf(x)=Llimxa+f(x)=L

等价于

limxaf(x)=L.

如果左极限和右极限不相等, 例如上述例子中的函数 h, 那么双侧极限不存在. 我们写作

limx3h(x) 不存在

或使用缩写 “DNE” 表示 “不存在”.

普林斯顿微积分读本(修订版)(22):极限导论 3.2

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