普林斯顿微积分读本(修订版)(20):三角学回顾 2.4

阅读数:7 2019 年 11 月 24 日 22:50

普林斯顿微积分读本(修订版)(20):三角学回顾 2.4

(三角恒等式)

内容简介
本书是作者多年来给普林斯顿大学本科一年级学生开设微积分的每周复习课。本书专注于讲述解题技巧,目的是帮助读者学习一元微积分的主要概念。深入处理一些基本内容,还复习一些主题。本书不仅可以作为参考书,也可以作为教材,定会成为任何一位需要微积分知识人学习一元微积分的非常好的指导书。

三角函数间的关系用来十分方便. 首先, 注意到正切和余切可以由正弦和余弦来表示:

tan(x)=sin(x)cos(x),cot(x)=cos(x)sin(x).

(有时, 根据这些恒等式, 用正弦和余弦来代替每一个正切和余切会有帮助, 但这只是你被卡住时不得已而为之的下下策.)

所有三角恒等式中最重要的就是毕达哥拉斯定理了 (用三角函数表示),

普林斯顿微积分读本(修订版)(20):三角学回顾 2.4

这对于任意的 x 都成立. (为什么这是毕达哥拉斯定理呢?如果直角三角形的斜边是 1, 其中一个角为 x, 自己验证三角形的其他两条边长就是 cos (x) 和 sin (x).)

现在, 让这个等式两边同除以 cos2 (x). 你应该能够得到以下结果:

普林斯顿微积分读本(修订版)(20):三角学回顾 2.4

该公式在微积分里也会经常出现. 另外, 你也可以将毕达哥拉斯定理等式两边同除以 sin2 (x), 得到以下等式:

普林斯顿微积分读本(修订版)(20):三角学回顾 2.4

这个公式好像没有其他公式出现得那么频繁.

三角函数之间还有其他一些关系. 你注意到了吗?一些函数的名字是以音节 “co” 开头的. 这是 “互余” (complementary) 的简称. 说两个角互余, 意味着它们的和是 π/2 (或 90°). 可不是说它们相互恭维. 好吧, 不玩双关了, 事实是有以下一般关系:

三角函数 (x) = co- 三角函数 (π2x).

特别地, 有:

sin(x)=cos(π2x),tan(x)=cot(π2x),sec(x)=csc(π2x).

甚至当三角函数名中已经带有一个 “co” 时, 以上公式仍然适用 ; 你只需要认识到, 余角的余角就是原始的角! 例如, co-co-sin 事实上就是 sin, co-co-tan 事实上就是 tan. 基本上, 这意味着我们还可以说:

cos(x)=sin(π2x),cot(x)=tan(π2x),csc(x)=sec(π2x).

最后, 还有一组恒等式值得我们学习. 这些恒等式涉及角的和与倍角公式. 特别地, 我们应该记住下列公式:

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还应该记住, 你可以切换所有的正号和负号, 得到一些相关的公式:

sin(A+B)=sin(A)cos(B)+cos(A)sin(B)&cos(A+B)=cos(A)cos(B)sin(A)sin(B).

对于上述方框公式中的 sin (A + B) 和 cos (A + B), 令 A = B = x, 我们就会得到另一个有用的结果. 很明显, 正弦公式是 sin (2_x_) = 2 sin (x) cos (x). 但让我们更仔细看一下余弦公式. 它会变成 cos (2_x_) = cos2 (x) - sin2 (x); 这本身没错, 但更有用的是使用毕达哥拉斯定理 sin2 (x) + cos2 (x) = 1 将 cos (2_x_) 表示成为 2 cos2 (x) - 1 或 1 - 2 sin2 (x) (自已验证一下它们是成立的!). 综上, 倍角公式为:

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那么如何用 sin (x) 和 cos (x) 来表示 sin (4_x_) 呢?我们可以将 4_x_ 看作两倍的 2_x_, 并使用正弦恒等式, 写作 sin (4_x_) = 2 sin (2_x_) cos (2_x_). 然后应用两个恒等式, 得到

sin(4x)=2(2sin(x)cos(x))(2cos2(x)1)=8sin(x)cos3(x)4sin(x)cos(x).

类似地,

cos(4x)=2cos2(2x)1=2(2cos2(x)1)21=8cos4(x)8cos2(x)+1.

你不用记这后两个公式 ; 相反, 你要确保理解了如何使用倍角公式来推导它们. 如果你能够掌握本章涉及的所有三角学内容, 就能够很好地学习本书的剩余部

分了. 因此, 抓紧时间消化这些知识吧. 做一些例题, 并确保你记住了那张很重要的表格和所有方框公式.

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