普林斯顿微积分读本(修订版)(13):函数、图像和直线 1.5

阅读数:9 2019 年 11 月 24 日 22:50

普林斯顿微积分读本(修订版)(13):函数、图像和直线 1.5

(线性函数的图像)

内容简介
本书是作者多年来给普林斯顿大学本科一年级学生开设微积分的每周复习课。本书专注于讲述解题技巧,目的是帮助读者学习一元微积分的主要概念。深入处理一些基本内容,还复习一些主题。本书不仅可以作为参考书,也可以作为教材,定会成为任何一位需要微积分知识人学习一元微积分的非常好的指导书。

形如 f (x) = mx + b 的函数叫作线性函数. 如此命名原因很简单, 因为它们的图像是直线. 直线的斜率是 m. 设想一下, 此时此刻你就在这页纸中, 这条直线就像是座山, 你从左向右开始登山, 如图 1-12 所示.

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图 1-12

如果像上图一样, 斜率 m 为正数, 那么你正在上山. m 越大, 这段上坡就越陡. 相反, 如果 m 为负数, 那么你正在下山. m 的数值越小 (即绝对值越大), 这段下坡也就越陡. 如果斜率为 0, 这段山路就是水平的, 你既不在上山, 也不在下山, 仅仅是在沿一条直线前行.

你仅仅需要确认两个点, 就可以画出线性函数的图像, 因为两点确定一条直线. 你所要做的就是把尺子放在这两点上, 笔轻轻一连就行了. 其中一点很容易找, 就是 y 轴的截距. 设 x = 0, 很显然 y = m × 0 + b = b. 也就是说, y 轴的截距为 b, 所以直线通过 (0, b) 这点. 我们可以通过找 x 轴的截距来找另一点, 设 y 为 0, 求 x 的值. 不过, 这种方法在两种特殊情况下不适用. 情况一:b = 0, 这时函数变为 y = mx. 直线通过原点, x 轴和 y 轴的截距都为零. 为了求得另一点, 可以把 x = 1 代入, 可得 y = m. 所以直线 y = mx 通过原点和 (1, m) 这两点. 例如, 直线 y = -2_x_ 通过原点和 (1, -2), 如图 1-13 所示.

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图 1-13

情况二:当 m = 0, 这时函数变为 y = b, 是一条通过 (0, b) 的水平直线.

更有趣的例子, 可考虑函数 y=12x1. 很显然, y 轴截距为 -1, 斜率为 1/2. 为画这条直线, 我们还需要求出 x 轴的截距. 通过设 y = 0 可以得出 0=12x1, 化简后得出 x = 2. 图像如图 1-14 所示.

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图 1-14

现在假设你知道平面上有一条直线, 但不知道它的方程. 如果你知道这条直线通过某一固定的点以及它的斜率, 那就能很容易地找到它的方程. 你真的, 真的, 真的, 很有必要去掌握这种方法, 因为它经常出现. 这个公式叫直线方程的点斜式, 其文字表达如下:

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如果已知一条直线通过 (-2, 5), 斜率为 -3, 如何求它的方程?方程为 y - 5 = -3(x - (-2)), 化简后结果为 y = -3x - 1.

有时你不知道直线的斜率, 但知道它通过哪两点. 那怎样求它的方程呢?技巧是, 找出它的斜率, 再用刚才的方法去求出方程. 首先, 你需要知道:

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例如, 通过 (-3, 4) 和 (2, -6) 的直线方程是什么?首先, 求它的斜率:

斜率 =642(3)=105=2.

我们现在知道该直线通过 (-3, 4), 斜率为 -2, 所以它的方程为 y - 4 = -2(x - (-3)), 化简后为 y = -2_x_ - 2. 同样, 我们也可以使用另一点 (2, -6) 和斜率为 -2, 得出方程为 y - (-6) = -2(x - 2), 化简后为 y = -2_x_ - 2. 你会发现, 无论使用哪一个点, 最后得到的结果都是相同的.

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