算法图解之算法简介

本章内容主要包括：查找算法“二分查找”，算法的运行时间“大 O 表示法”，以及一种常用的算法设计方法“递归”。

1.1　引言

算法是一组完成任务的指令。任何代码片段都可视为算法，但本书只介绍比较有趣的部分。本书介绍的算法要么速度快，要么能解决有趣的问题，要么兼而有之。下面是书中一些重要内容。

• 第 1 章讨论二分查找，并演示算法如何能够提高代码的速度。在一个示例中，算法将需要执行的步骤从 40 亿个减少到了 32 个！

• GPS 设备使用图算法来计算前往目的地的最短路径，这将在第 6、7 和 8 章介绍。

• 你可使用动态规划来编写下国际跳棋的 AI 算法，这将在第 9 章讨论。

对于每种算法，本书都将首先进行描述并提供示例，再使用大 O 表示法讨论其运行时间，最后探索它可以解决的其他问题。

1.1.1　性能方面

好消息是，本书介绍的每种算法都很可能有使用你喜欢的语言编写的实现，因此你无需自己动手编写每种算法的代码！但如果你不明白其优缺点，这些实现将毫无用处。在本书中，你将学习比较不同算法的优缺点：该使用合并排序算法还是快速排序算法，或者该使用数组还是链表。仅仅改用不同的数据结构就可能让结果大不相同。

1.1.2　问题解决技巧

你将学习至今都没有掌握的问题解决技巧，例如：

• 如果你喜欢开发电子游戏，可使用图算法编写跟踪用户的 AI 系统；

• 你将学习使用 K 最近邻算法编写推荐系统；

• 有些问题在有限的时间内是不可解的！书中讨论 NP 完全问题的部分将告诉你，如何识别这样的问题以及如何设计找到近似答案的算法。

总而言之，读完本书后，你将熟悉一些使用最为广泛的算法。利用这些新学到的知识，你可学习更具体的 AI 算法、数据库算法等，还可在工作中迎接更严峻的挑战。

需要具备的知识

要阅读本书，需要具备基本的代数知识。具体地说，给定函数 f(x) = x × 2，f(5)的值是多少呢？如果你的答案为 10，那就够了。

另外，如果你熟悉一门编程语言，本章（以及本书）将更容易理解。本书的示例都是使用 Python 编写的。如果你不懂任何编程语言但想学习一门，请选择 Python，它非常适合初学者；如果你熟悉其他语言，如 Ruby，对阅读本书也大有帮助。

1.2　二分查找

假设要在电话簿中找一个名字以 K 打头的人，（现在谁还用电话簿！）可以从头开始翻页，直到进入以 K 打头的部分。但你很可能不这样做，而是从中间开始，因为你知道以 K 打头的名字在电话簿中间。

又假设要在字典中找一个以 O 打头的单词，你也将从中间附近开始。

现在假设你登录 Facebook。当你这样做时，Facebook 必须核实你是否有其网站的账户，因此必须在其数据库中查找你的用户名。如果你的用户名为 karlmageddon，Facebook 可从以 A 打头的部分开始查找，但更合乎逻辑的做法是从中间开始查找。

这是一个查找问题，在前述所有情况下，都可使用同一种算法来解决问题，这种算法就是二分查找。

二分查找是一种算法，其输入是一个有序的元素列表（必须有序的原因稍后解释）。如果要查找的元素包含在列表中，二分查找返回其位置；否则返回 null。

下图是一个例子。

下面的示例说明了二分查找的工作原理。我随便想一个 1～100 的数字。

你的目标是以最少的次数猜到这个数字。你每次猜测后，我会说小了、大了或对了。

假设你从 1 开始依次往上猜，猜测过程会是这样。

这是简单查找，更准确的说法是傻找。每次猜测都只能排除一个数字。如果我想的数字是 99，你得猜 99 次才能猜到！

1.2.1　更佳的查找方式

下面是一种更佳的猜法。从 50 开始。

小了，但排除了一半的数字！至此，你知道 1～50 都小了。接下来，你猜 75。

大了，那余下的数字又排除了一半！使用二分查找时，你猜测的是中间的数字，从而每次都将余下的数字排除一半。接下来，你猜 63（50 和 75 中间的数字）。

这就是二分查找，你学习了第一种算法！每次猜测排除的数字个数如下。

不管我心里想的是哪个数字，你在 7 次之内都能猜到，因为每次猜测都将排除很多数字！

假设你要在字典中查找一个单词，而该字典包含 240 000 个单词，你认为每种查找最多需要多少步？

如果要查找的单词位于字典末尾，使用简单查找将需要 240 000 步。使用二分查找时，每次排除一半单词，直到最后只剩下一个单词。

因此，使用二分查找只需 18 步——少多了！一般而言，对于包含 n 个元素的列表，用二分查找最多需要 log2n 步，而简单查找最多需要 n 步。

对数

你可能不记得什么是对数了，但很可能记得什么是幂。log10100 相当于问“将多少个 10 相乘的结果为 100”。答案是两个：10 × 10 = 100。因此，log10100 = 2。对数运算是幂运算的逆运算。

对数是幂运算的逆运算

本书使用大 O 表示法（稍后介绍）讨论运行时间时，log 指的都是 log2。使用简单查找法查找元素时，在最糟情况下需要查看每个元素。因此，如果列表包含 8 个数字，你最多需要检查 8 个数字。而使用二分查找时，最多需要检查 log n 个元素。如果列表包含 8 个元素，你最多需要检查 3 个元素，因为 log 8 = 3（23 = 8）。如果列表包含 1024 个元素，你最多需要检查 10 个元素，因为 log 1024 = 10（210 =1024）。

说明

本书经常会谈到 log 时间，因此你必须明白对数的概念。如果你不明白，可汗学院（khanacademy.org）有一个不错的视频，把这个概念讲得很清楚。

说明

仅当列表是有序的时候，二分查找才管用。例如，电话簿中的名字是按字母顺序排列的，因此可以使用二分查找来查找名字。如果名字不是按顺序排列的，结果将如何呢？

下面来看看如何编写执行二分查找的 Python 代码。这里的代码示例使用了数组。如果你不熟悉数组，也不用担心，下一章就会介绍。你只需知道，可将一系列元素存储在一系列相邻的桶（bucket），即数组中。这些桶从 0 开始编号：第一个桶的位置为 #0，第二个桶为 #1，第三个桶为 #2，以此类推。

函数 binary_search 接受一个有序数组和一个元素。如果指定的元素包含在数组中，这个函数将返回其位置。你将跟踪要在其中查找的数组部分——开始时为整个数组。

low = 0high = len(list) - 1

你每次都检查中间的元素。

mid = (low + high) / 2  ←---如果(low + high)不是偶数，Python自动将mid向下取整。guess = list[mid]

如果猜的数字小了，就相应地修改 low。

if guess < item:  low = mid + 1

如果猜的数字大了，就修改 high。完整的代码如下。

def binary_search(list, item):  low = 0    （以下2行）low和high用于跟踪要在其中查找的列表部分  high = len(list)—1    while low <= high:  ←-------------只要范围没有缩小到只包含一个元素，    mid = (low + high) / 2  ←-------------就检查中间的元素    guess = list[mid]    if guess == item:  ←-------------找到了元素      return mid    if guess > item:  ←-------------猜的数字大了      high = mid - 1    else:  ←---------------------------猜的数字小了      low = mid + 1  return None  ←--------------------没有指定的元素my_list = [1, 3, 5, 7, 9]  ←------------来测试一下！print binary_search(my_list, 3) # => 1  ←--------------------别忘了索引从0开始，第二个位置的索引为1print binary_search(my_list, -1) # => None  ←--------------------在Python中，None表示空，它意味着没有找到指定的元素

练习

1.1　假设有一个包含 128 个名字的有序列表，你要使用二分查找在其中查找一个名字，请 问最多需要几步才能找到？

1.2　上面列表的长度翻倍后，最多需要几步？

1.2.2　运行时间

每次介绍算法时，我都将讨论其运行时间。一般而言，应选择效率最高的算法，以最大限度地减少运行时间或占用空间。

回到前面的二分查找。使用它可节省多少时间呢？简单查找逐个地检查数字，如果列表包含 100 个数字，最多需要猜 100 次。如果列表包含 40 亿个数字，最多需要猜 40 亿次。换言之，最多需要猜测的次数与列表长度相同，这被称为线性时间（linear time）。

二分查找则不同。如果列表包含 100 个元素，最多要猜 7 次；如果列表包含 40 亿个数字，最多需猜 32 次。厉害吧？二分查找的运行时间为对数时间（或 log 时间）。下表总结了我们发现的情况。

1.3　大 O 表示法

大 O 表示法是一种特殊的表示法，指出了算法的速度有多快。谁在乎呢？实际上，你经常要使用别人编写的算法，在这种情况下，知道这些算法的速度大有裨益。本节将介绍大 O 表示法是什么，并使用它列出一些最常见的算法运行时间。

1.3.1　算法的运行时间以不同的速度增加

Bob 要为 NASA 编写一个查找算法，这个算法在火箭即将登陆月球前开始执行，帮助计算着陆地点。

这个示例表明，两种算法的运行时间呈现不同的增速。Bob 需要做出决定，是使用简单查找还是二分查找。使用的算法必须快速而准确。一方面，二分查找的速度更快。Bob 必须在 10 秒钟内找出着陆地点，否则火箭将偏离方向。另一方面，简单查找算法编写起来更容易，因此出现 bug 的可能性更小。Bob 可不希望引导火箭着陆的代码中有 bug！为确保万无一失，Bob 决定计算两种算法在列表包含 100 个元素的情况下需要的时间。

假设检查一个元素需要 1 毫秒。使用简单查找时，Bob 必须检查 100 个元素，因此需要 100 毫秒才能查找完毕。而使用二分查找时，只需检查 7 个元素（log2100 大约为 7），因此需要 7 毫秒就能查找完毕。然而，实际要查找的列表可能包含 10 亿个元素，在这种情况下，简单查找需要多长时间呢？二分查找又需要多长时间呢？请务必找出这两个问题的答案，再接着往下读。

Bob 使用包含 10 亿个元素的列表运行二分查找，运行时间为 30 毫秒（log21 000 000 000 大约为 30）。他心里想，二分查找的速度大约为简单查找的 15 倍，因为列表包含 100 个元素时，简单查找需要 100 毫秒，而二分查找需要 7 毫秒。因此，列表包含 10 亿个元素时，简单查找需要 30 × 15 = 450 毫秒，完全符合在 10 秒内查找完毕的要求。Bob 决定使用简单查找。这是正确的选择吗？

不是。实际上，Bob 错了，而且错得离谱。列表包含 10 亿个元素时，简单查找需要 10 亿毫秒，相当于 11 天！为什么会这样呢？因为二分查找和简单查找的运行时间的增速不同。

也就是说，随着元素数量的增加，二分查找需要的额外时间并不多，而简单查找需要的额外时间却很多。因此，随着列表的增长，二分查找的速度比简单查找快得多。Bob 以为二分查找速度为简单查找的 15 倍，这不对：列表包含 10 亿个元素时，为 3300 万倍。有鉴于此，仅知道算法需要多长时间才能运行完毕还不够，还需知道运行时间如何随列表增长而增加。这正是大 O 表示法的用武之地。

大 O 表示法指出了算法有多快。例如，假设列表包含 n 个元素。简单查找需要检查每个元素，因此需要执行 n 次操作。使用大 O 表示法，这个运行时间为 O(n)。单位秒呢？没有——大 O 表示法指的并非以秒为单位的速度。大 O 表示法让你能够比较操作数，它指出了算法运行时间的增速。

再来看一个例子。为检查长度为 n 的列表，二分查找需要执行 log n 次操作。使用大 O 表示法，这个运行时间怎么表示呢？O(log n)。一般而言，大 O 表示法像下面这样。

这指出了算法需要执行的操作数。之所以称为大 O 表示法，是因为操作数前有个大 O。这听起来像笑话，但事实如此！

下面来看一些例子，看看你能否确定这些算法的运行时间。

1.3.2　理解不同的大 O 运行时间

下面的示例，你在家里使用纸和笔就能完成。假设你要画一个网格，它包含 16 个格子。

算法 1

一种方法是以每次画一个的方式画 16 个格子。记住，大 O 表示法计算的是操作数。在这个示例中，画一个格子是一次操作，需要画 16 个格子。如果每次画一个格子，需要执行多少次操作呢？

画 16 个格子需要 16 步。这种算法的运行时间是多少？

算法 2

请尝试这种算法——将纸折起来。

在这个示例中，将纸对折一次就是一次操作。第一次对折相当于画了两个格子！

再折，再折，再折。

折 4 次后再打开，便得到了漂亮的网格！每折一次，格子数就翻倍，折 4 次就能得到 16 个格子！

你每折一次，绘制出的格子数都翻倍，因此 4 步就能“绘制”出 16 个格子。这种算法的运行时间是多少呢？请搞清楚这两种算法的运行时间之后，再接着往下读。

答案如下：算法 1 的运行时间为 O(n)，算法 2 的运行时间为 O(log n)。

1.3.3　大 O 表示法指出了最糟情况下的运行时间

假设你使用简单查找在电话簿中找人。你知道，简单查找的运行时间为 O(n)，这意味着在最糟情况下，必须查看电话簿中的每个条目。如果要查找的是 Adit——电话簿中的第一个人，一次就能找到，无需查看每个条目。考虑到一次就找到了 Adit，请问这种算法的运行时间是 O(n)还是 O(1)呢？

简单查找的运行时间总是为 O(n)。查找 Adit 时，一次就找到了，这是最佳的情形，但大 O 表示法说的是最糟的情形。因此，你可以说，在最糟情况下，必须查看电话簿中的每个条目，对应的运行时间为 O(n)。这是一个保证——你知道简单查找的运行时间不可能超过 O(n)。

说明

除最糟情况下的运行时间外，还应考虑平均情况的运行时间，这很重要。最糟情况和平均情况将在第 4 章讨论。

1.3.4　一些常见的大 O 运行时间

下面按从快到慢的顺序列出了你经常会遇到的 5 种大 O 运行时间。

• O(log n)，也叫对数时间，这样的算法包括二分查找。

• O(n)，也叫线性时间，这样的算法包括简单查找。

• O(n * log n)，这样的算法包括第 4 章将介绍的快速排序——一种速度较快的排序算法。

• O(n2)，这样的算法包括第 2 章将介绍的选择排序——一种速度较慢的排序算法。

• O(n!)，这样的算法包括接下来将介绍的旅行商问题的解决方案——一种非常慢的算法。

假设你要绘制一个包含 16 格的网格，且有 5 种不同的算法可供选择，这些算法的运行时间如上所示。如果你选择第一种算法，绘制该网格所需的操作数将为 4（log 16 = 4）。假设你每秒可执行 10 次操作，那么绘制该网格需要 0.4 秒。如果要绘制一个包含 1024 格的网格呢？这需要执行 10（log 1024 = 10）次操作，换言之，绘制这样的网格需要 1 秒。这是使用第一种算法的情况。

第二种算法更慢，其运行时间为 O(n)。即要绘制 16 个格子，需要执行 16 次操作；要绘制 1024 个格子，需要执行 1024 次操作。执行这些操作需要多少秒呢？

下面按从快到慢的顺序列出了使用这些算法绘制网格所需的时间：

还有其他的运行时间，但这 5 种是最常见的。

这里做了简化，实际上，并不能如此干净利索地将大 O 运行时间转换为操作数，但就目前而言，这种准确度足够了。等你学习其他一些算法后，第 4 章将回过头来再次讨论大 O 表示法。当前，我们获得的主要启示如下。

算法的速度指的并非时间，而是操作数的增速。

• 谈论算法的速度时，我们说的是随着输入的增加，其运行时间将以什么样的速度增加。

• 算法的运行时间用大 O 表示法表示。

• O(log n)比 O(n)快，当需要搜索的元素越多时，前者比后者快得越多。

练习

使用大 O 表示法给出下述各种情形的运行时间。

1.3　在电话簿中根据名字查找电话号码。

1.4　在电话簿中根据电话号码找人。（提示：你必须查找整个电话簿。）

1.5　阅读电话簿中每个人的电话号码。

1.6　阅读电话簿中姓名以 A 打头的人的电话号码。这个问题比较棘手，它涉及第 4 章的概 念。答案可能让你感到惊讶！

1.3.5　旅行商

阅读前一节时，你可能认为根本就没有运行时间为 O(n!)的算法。让我来证明你错了！下面就是一个运行时间极长的算法。这个算法要解决的是计算机科学领域非常著名的旅行商问题，其计算时间增加得非常快，而有些非常聪明的人都认为没有改进空间。

有一位旅行商。

他需要前往 5 个城市。

这位旅行商（姑且称之为 Opus 吧）要前往这 5 个城市，同时要确保旅程最短。为此，可考虑前往这些城市的各种可能顺序。

对于每种顺序，他都计算总旅程，再挑选出旅程最短的路线。5 个城市有 120 种不同的排列方式。因此，在涉及 5 个城市时，解决这个问题需要执行 120 次操作。涉及 6 个城市时，需要执行 720 次操作（有 720 种不同的排列方式）。涉及 7 个城市时，需要执行 5040 次操作！

推而广之，涉及 n 个城市时，需要执行 n!（n 的阶乘）次操作才能计算出结果。因此运行时间为 O(n!)，即阶乘时间。除非涉及的城市数很少，否则需要执行非常多的操作。如果涉及的城市数超过 100，根本就不能在合理的时间内计算出结果——等你计算出结果，太阳都没了。

这种算法很糟糕！Opus 应使用别的算法，可他别无选择。这是计算机科学领域待解的问题之一。对于这个问题，目前还没有找到更快的算法，有些很聪明的人认为这个问题根本就没有更巧妙的算法。面对这个问题，我们能做的只是去找出近似答案，更详细的信息请参阅第 10 章。

最后需要指出的一点是，高水平的读者可研究一下二叉树，这在最后一章做了简要的介绍。

1.4　小结

• 二分查找的速度比简单查找快得多。

• O(log n)比 O(n)快。需要搜索的元素越多，前者比后者就快得越多。

• 算法运行时间并不以秒为单位。

• 算法运行时间是从其增速的角度度量的。

• 算法运行时间用大 O 表示法表示。

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