普林斯顿微积分读本(修订版)(21):极限导论 3&3.1

阅读数:9 2019 年 11 月 24 日 22:50

普林斯顿微积分读本(修订版)(21):极限导论 3&3.1

(极限导论)

内容简介
本书是作者多年来给普林斯顿大学本科一年级学生开设微积分的每周复习课。本书专注于讲述解题技巧,目的是帮助读者学习一元微积分的主要概念。深入处理一些基本内容,还复习一些主题。本书不仅可以作为参考书,也可以作为教材,定会成为任何一位需要微积分知识人学习一元微积分的非常好的指导书。

如果没有极限的概念, 那么微积分将不复存在. 这意味着, 我们将大量的时间来研究它们. 事实证明, 虽然恰当地定义一个极限是件相当棘手的事情, 但你仍然有可能对极限有个直观理解, 而无须深入其中的具体细节. 这对于解决微分和积分问题已经足够了. 因此, 本章仅仅包含对极限的直观描述 ; 正式描述请参见附录 A. 总的来说, 以下就是我们会在本章讲解的内容:

  • 对于极限是什么的直观概念 ;
  • 左、右与双侧极限, 及在 ∞ 和 -∞ 处的极限 ;
  • 何时极限不存在 ;
  • 三明治定理 (也称作 “夹逼定理”).

(极限:基本思想)

内容简介
本书是作者多年来给普林斯顿大学本科一年级学生开设微积分的每周复习课。本书专注于讲述解题技巧,目的是帮助读者学习一元微积分的主要概念。深入处理一些基本内容,还复习一些主题。本书不仅可以作为参考书,也可以作为教材,定会成为任何一位需要微积分知识人学习一元微积分的非常好的指导书。

让我们开始吧. 我们从某个函数 fx 轴上的一点出发, 该点称为 a. 需要理解的是:当 x 非常非常接近于 a, 但不等于 a 时, f (x) 是什么样子的?这是一个非常奇怪的问题, 人类相对晚近才发展出微积分很可能就是因为这个原因吧.

这里有一个例子, 说明了为什么要提出这样的问题. 令 f 的定义域为 R2 (除 2 以外的所有实数), 并设 f (x) = x - 1. 这可以写作:

f (x) = x - 1 当 x ≠ 2.

这看起来好像是一个古怪的函数. 毕竟, 到底为什么要将 2 从定义域中去除掉呢?其实, 在下一章就会看到, f 很自然地就是个有理函数 (参见 4.1 节的第二个例子) 不过现在, 让我们姑且接受 f 的定义, 并画出其图像, 如图 3-1 所示.

普林斯顿微积分读本(修订版)(21):极限导论 3&3.1

图 3-1

那么 f (2) 是什么呢?或许你会说 f (2) = 1, 但这是大错特错了, 因为 2 根本不在 f 的定义域中. 你所能给出的最好回答就是 f (2) 是无定义的. 另一方面, 当 x 非常非常接近于 2 的时候, 我们可以找到一些 f (x) 的值, 并看看将会有什么发生. 例如, f (2.01) = 1.01, f (1.999) = 0.999. 稍作思考, 你会发现当 x 非常非常接近于 2 的时候, f (x) 的值会非常非常接近于 1.

还有, 只要令 x 充分地接近于 2, 那么你想多接近于 1 就能多接近于 1, 却又不是真的达到 1. 例如, 如果你想要 f (x) 在 1 ± 0.0001 内, 可以取在 1.9999 和 2.0001 之间的任意的 x 值 (当然, 除了 x = 2, 这是禁止的). 如果你想要 f (x) 在 1 ± 0.000 007 内, 那么选取 x 的时候, 你不得不更细心一点. 这一次, 你需要取在 1.999 993 和 2.000 007 之间的任意值了 (当然, 还是除了 2).

这些思想会在附录 A 的 A.1 节里有更详细的描述. 不过现在, 让我们回到正题, 直接写出

limx2f(x)=1.

如果你大声将它读出来, 它听起来应该像是 “当 x 趋于 2, f (x) 的极限等于 1”. 再次说明, 这意味着, 当 x 接近于 2(但不等于 2) 时, f (x) 的值接近于 1. 那到底有多近呢?你想要多近就能多近. 以上陈述的另外一个写法是

f (x) → 1 当 x → 2.

这个写法更难用来计算, 但其意义很清晰:当 x 沿着数轴从左侧或者从右侧趋近于 2 时, f (x) 的值会非常非常接近于 1(并保持接近的状态!).

现在, 取上述函数 f 并对它做一点改动. 假设有一个新的函数 g, 其图像如图 3-2 所示.

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图 3-2

函数 g 的定义域是所有实数, 并且 g (x) 可以被定义为如下的分段函数:

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limx2g(x) 是什么呢?这里的关键是, g(2) 的值和该极限是不相关的! 只有那些在 x 接近于 2 时的 g(x) 的值, 而不是在 2 处的值, 才是问题的关键. 如果忽略 x = 2, 函数 g 和之前的函数 f 就是完全相同的. 因此, 尽管 g(2) = 3, 我们还是有 limx2g(x)=1.

这里的要点是, 当你写出

limx2f(x)=1,

的时候, 等式左边实际上不是 x 的函数! 要记住, 以上等式是说, 当 x 接近于 2 时, f (x) 接近于 1. 事实上, 我们可以将 x 替换成其他任意字母, 上式仍然成立. 例如, 当 q 接近于 2 时, f (q) 接近于 1, 因此我们有

limq2f(q)=1.

也可以写成

limb2f(b)=1,limz2f(z)=1,limα2f(α)=1,

如此等等, 直到用光了所有的字母和符号! 这里的要点是, 在极限

limx2f(x)=1,

中, 变量 x 只是一个虚拟变量. 它是一个暂时的标记, 用来表示某个 (在上述情况下) 非常接近于 2 的量. 它可以被替换成其他任意字母, 只要替换是彻底的 ; 同样, 当你求出极限的值时, 结果不可能包含这个虚拟变量. 所以对虚拟变量你要灵活处理.

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图灵地址 http://www.ituring.com.cn/book/1623

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