普林斯顿微积分读本(修订版)(6):函数、图像和直线 1.2

阅读数:9 2019 年 11 月 24 日 22:42

普林斯顿微积分读本(修订版)(6):函数、图像和直线 1.2

(反函数)

内容简介
本书是作者多年来给普林斯顿大学本科一年级学生开设微积分的每周复习课。本书专注于讲述解题技巧,目的是帮助读者学习一元微积分的主要概念。深入处理一些基本内容,还复习一些主题。本书不仅可以作为参考书,也可以作为教材,定会成为任何一位需要微积分知识人学习一元微积分的非常好的指导书。

我们假设一个函数 f , 你给了它一个输入 x. 如果 xf 的定义域中, 你就能得到一个输出, 我们称它为 f (x). 现在, 我们把过程倒过来, 并问:如果你选一个实数 y, 那么应该赋予 f 什么样的输入才能得到这个输出 y 呢?

用数学语言来陈述这个问题就是:给定一个实数 y, 那么在 f 定义域中的哪个 x 满足 f (x) = y?首先要注意的是, y 必须在 f 的值域中. 否则, 根据定义, 将不再有 x 的值使得 f (x) = y 成立了. 如此在 f 定义域中将没有这样的 x 满足 f (x) = y, 因为值域是所有的可能输出.

另一方面, 如果 y 在值域当中, 也可能会有很多值都满足 f (x) = y. 例如 f (x) = x2 (其定义域为 R), 我们的问题是 x 取何值时会输出 64. 很显然, 有两个 x 值:8 和 -8. 另外, 如果 g (x) = x3, 对于相同的问题, 这时只有一个 x 值, 就是 4. 对于任意一个我们赋予 g 去做变换的实数, 结果都是如此, 因为任何数都只有一个 (实数) 立方根.

所以这里的情形如下:给定一个函数 f , 在 f 的值域中选择 y. 在理想状况下, 仅有一个 x 值满足 f (x) = y. 如果上述理想状况对于值域中的每一个 y 来说都成立, 那么就可以定义一个新的函数, 它将逆转变换. 从输出 y 出发, 这个新的函数发现一个且仅有一个输入 x 满足 f (x) = y. 这个新的函数称为 f反函数, 并写作 f-1. 以下是使用数学语言对上述情形的总结.

(1) 从一个函数 f 出发, 使得对于在 f 值域中的任意 y, 都只有唯一的 x 值满足 f (x)= y. 也就是说, 不同的输入对应不同的输出. 现在, 我们就来定义反函数 f-1.

(2) f-1 的定义域和 f 的值域相同.

(3) f-1 的值域和 f 的定义域相同.

(4) f-1 (y) 的值就是满足 f (x) = yx. 所以,

如果 f (x) = y, 那么 f-1 (y) = x.

变换 f-1 就像是 f 的撤销按钮:如果你从 x 出发, 并通过函数 f 将它变换为 y, 那么你可以通过在 y 上的反函数 f-1 来撤销这个变换的效果, 取回 x.

这会引发一些问题:你如何知道只有唯一的 x 值满足 f (x) = y 呢?如果是这样, 如何求得反函数呢, 其图像又是什么样子呢?如果不是这样, 你又如何挽救这一局面呢?在接下来的三个小节中我们会对这些问题作出回答.

普林斯顿微积分读本(修订版)(6):函数、图像和直线 1.2

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