普林斯顿微积分读本(修订版)(14):函数、图像和直线 1.6

阅读数:7 2019 年 11 月 24 日 22:50

普林斯顿微积分读本(修订版)(14):函数、图像和直线 1.6

(常见函数及其图像)

内容简介
本书是作者多年来给普林斯顿大学本科一年级学生开设微积分的每周复习课。本书专注于讲述解题技巧,目的是帮助读者学习一元微积分的主要概念。深入处理一些基本内容,还复习一些主题。本书不仅可以作为参考书,也可以作为教材,定会成为任何一位需要微积分知识人学习一元微积分的非常好的指导书。

下面是你应该知道的最重要的一些函数.

(1) 多项式 有许多函数是基于 x 的非负次幂建立起来的. 你可以以 1、xx2x3 等为基本项, 然后用实数同这些基本项做乘法, 最后把有限个这样的项加到一起. 例如, 多项式 f (x) = 5_x_4 -4_x_3 +10 是由 x4 的 5 倍加 x3 的 -4 倍加 10 而形成的. 你可能也想加中间的基本项 x2x , 但由于它们没有出现, 所以我们可以说零倍的 x2 和零倍的 x. 基本项 _xn 的倍数叫作 xn 的系数. 例如, 刚才的多项式 x4x3x2x 和常数项的系数分别为 5、-4、0、0 和 10. (顺便提一下, 为什么会有 x 和 1 的形式? 这两项看上去与其他项不同, 但它们实际上是一样的, 因为 x = x1, 1 = x0.) 最大的幂指数 _n(该项系数不能为零) 叫作多项式的次数. 例如上述多项式的次数为 4, 因为不存在比 4 大的 x 的幂指数. 次数为 n 的多项式的数学通式为

p(x)=anxn+an1xn1++a2x2+a1x+a0,

其中 anxn 的系数, an-1xn-1 的系数, 以此类推, 直到最后一项 1 的系数为 a0.

由于 xn 是所有多项式的基本项, 因而你应该知道它们的图像是什么样的. 偶次幂的图像之间是非常类似的 ; 同样, 奇次幂的图像之间也很类似. 图 1-15 是从 x0x7 的图像.

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图 1-15

一般的多项式的图像是很难画的. 除非是很简单的多项式, 否则连 x 轴的截距都经常很难找到. 不过, 多项式的图像左右两端的走势倒是容易判断. 这是由最高次数的项的系数决定的, 该系数叫作首项系数. an 就为上述多项式通式的首项系数. 例如, 我们刚才提到的多项式 5_x_4 - 4_x_3 + 10, 5 为它的首项系数. 实际上, 我们只需考虑首项系数正负以及多项式次数的奇偶就能判断图像两端的走势了. 所以图像两端的走势共有如下四种情况, 如图 1-16 所示.

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图 1-16

上述图像的中间部分是由多项式的其他项决定的. 上图仅仅是为了显示图像左右两端的走势. 在这个意义上, 多项式 5_x_4 - 4_x_3 + 10 的图像同最左边的图像类似, 因为 n = 4 为偶数, an = 5 为正数.

我们再稍微讨论一下次数为 2 的多项式, 又叫二次函数. 不写成 p(x) = a2x2 + a1x + a0, 而把系数分别写成 abc 会更简单些, 即我们有 p(x) = ax2 + bx + c. 根据判别式的符号可以判断二次函数到底有两个、一个还是没有实数解. 通常我们用希腊字母 Δ 来表示判别式 Δ = b2 - 4_ac_. 它共有三种可能性. 如果 Δ > 0, 有两个不同的解 ; 如果 Δ = 0, 只有一个解, 也可以说有两个相同的解 ; 如果 Δ < 0, 在实数范围内无解. 对于前两种情况, 解为

b±b24ac2a.

注意到该表达式根号下为判别式. 二次函数的一个重要技术是配方. 下面举例说明. 考虑二次函数 2_x_2 - 3_x_ + 10. 第一步把二次项的系数提出来, 多项式变为了 2(x232x+5). 这时就得到一个二次项系数为 1 的首一多项式. 接下来的关键一步是把 x 的系数,这里是 32, 除以 2, 再平方。我们得到 916 。我们多希望常数项是 916 , 而不是 5, 所以我们开动脑筋:

x232x+5=x232x+916+5916.

为什么要加一次 916 , 又减一次 916 呢?因为这样的话, 前三项为平方形式 (x34)2 . 这时我们得到

x232x+5=(x232+916)+5916=(x34)2+5916.

接下来, 只剩最后一小步, 5916=7116 . 最后恢复系数 2, 我们有

2x23x+10=2(x232x+5)=2((x34)2+7116)=2(x34)2+718.

事实证明, 这个形式在许多情形中更为便利. 你一定要学会如何配方, 因为我们要在第 18 章和第 19 章大量运用这个技巧.

(2) 有理函数 形如 p(x)q(x) , 其中 pq 为多项式的函数, 叫作有理函数. 有理函数变化多样, 它的图像根据 pq 两个多项式的变化而变化. 最简单的有理函数是多项式本身, 即 q(x) 为 1 的有理函数. 另一个简单的例子是 1/xn, 其中 n 为正整数. 图 1-17 是一些有理函数的图像.

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图 1-17

奇次幂的图像之间类似, 偶次幂的图像之间也很类似. 知道这些图像长什么样子是有帮助的.

(3) 指数函数和对数函数 你需要知道指数函数的图像长什么样. 例如, 图 1-18 是 y = 2x 的图像.

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图 1-18

y = bx(b > 1) 的图像都与这图类似. 有几点值得注意. 首先, 该函数的定义域为全体实数 ; 其次, y 轴的截距为 1 并且值域为大于零的实数 ; 最后, 左端的水平渐近线为 x 轴. 再强调一下, 该图像非常接近于 x 轴, 但永远不会接触到 x 轴, 无论在你的图形计算器上多么接近. (在第 3 章中, 我们会再次碰到渐近线.) y = 2-x 的图像是 y = 2x 关于 y 轴的对称, 如图 1-19 所示.

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图 1-19

如果底小于 1, 情况会是怎样?例如, 考虑 y=(12)x 的图像. 注意到 (12)x=1/2x=2x, 所以图 1-19 中 y = 2-x 的图像也是 y=(12)x 的图像, 因为对于任意 x, 2-x(12)x 均相等. 同理可得任何 y = bx(0 < b < 1) 的图像.

由于 y = 2_x_ 的图像满足水平线检验, 所以该函数有反函数. 这个反函数就是以 2 为底的对数 y = log2(x). 以直线 y = x 为镜子, y = log2(x) 如图 1-20 所示.

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图 1-20

该函数的定义域为 (0, +∞), 这也印证了我之前所说的负数和 0 不能求对数的说法. 值域为全体实数, y 轴为垂直渐近线. logb(x)(b > 1) 的图像都很相似. 对数函数在微积分的学习中很重要, 你一定要学会怎样画它们的图像. 我们将在第 9 章学习对数函数的性质.

(4) 三角函数 三角函数很重要, 所以下一章整章将对其作详细介绍.

(5) 带有绝对值的函数 让我们看一下形如 f (x) = |x| 的绝对值函数. 该函数的定义为:

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另一个看待这个绝对值函数的方法是, 它表示数轴上 0 和 x 的距离. 更一般而言, 你应该知道如下重要事实:

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例如, 假设你需要在数轴上找出区域 |x - 1| ≤ 3. 我们可以将该不等式阐释为 x 和 1 之间的距离小于或等于 3. 也就是说, 我们要找到所有与 1 之间的距离不大于 3 的点. 所以我们画一个数轴并标记 1 的位置, 如图 1-21 所示.

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图 1-21

距离不大于 3 的点最左到 -2 最右到 4, 所以区域如图 1-22 所示.

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图 1-22

所以区域 |x - 1| ≤ 3 也可表示为 [-2, 4].

同样成立的是, |x|=x2. 可以检验一下. 当 x ≥ 0, 显然 x2=x; 如果 x < 0, x2=x 这个表达式就错了, 因为左边为正, 右边为负. 正确的表达式为 x2=x, 这次右边为正了, 负负得正. 如果你再重新看一次 |x| 的定义, 就会发现我们已经证明了 |x|=x2. 但尽管这样, 对于 |x| 这个函数, 最好还是用分段函数去定义.

最后, 我们来看一些图像. 如果你知道一个函数的图像, 那么可以这样得到这个函数的绝对值的图像, 即以 x 轴为镜子, 把 x 轴下方的图像映射上来, x 轴上方的图像保持不变. 例如, 对于 |x| 的图像, 可以通过翻转 y = xx 轴下方的部分得到, 图 y = |x| 的图像如图 1-23 所示.

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图 1-23

怎样画 y = |log2(x)| 的图像呢?使用图像对称的原理, 这个绝对值函数的图像如图 1-24 所示.

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图 1-24

除了三角函数要在下一章讲外, 这是我在函数部分要讲解的所有内容. 但愿你之前已经见过本章中的许多内容, 因为其中的大部分知识将在微积分中被反复使用, 所以你需要尽快掌握这些知识.

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图灵地址 http://www.ituring.com.cn/book/1623

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