普林斯顿微积分读本(修订版)(7):函数、图像和直线 1.2.1

阅读数:11 2019 年 11 月 24 日 22:42

普林斯顿微积分读本(修订版)(7):函数、图像和直线 1.2.1

(水平线检验)

内容简介
本书是作者多年来给普林斯顿大学本科一年级学生开设微积分的每周复习课。本书专注于讲述解题技巧,目的是帮助读者学习一元微积分的主要概念。深入处理一些基本内容,还复习一些主题。本书不仅可以作为参考书,也可以作为教材,定会成为任何一位需要微积分知识人学习一元微积分的非常好的指导书。

对于第一个问题 —— 如何知道对于 f 值域中的任意 y, 只有一个 x 值满足 f (x) = y —— 最好的方法也许是看一下函数图像. 我们想要在 f 值域中选择 y, 并且希望只有一个 x 值满足 f (x) = y. 这就意味着通过点 (0, y) 的水平线应该和图像仅有一次相交, 且交点为点 (x, y). 那个 x 就是我们想要的. 如果水平线和曲线相交多于一次, 那将会有多个可能的对应 x 值, 情况会很糟. 如果是那样, 获得反函数唯一的方法就是对定义域加以限制, 我们很快会讨论这一点. 如果水平线根本就没有和曲线相交, 会怎样呢?就是 y 根本没有在值域当中, 这样也不错.

这样一来, 就可以描述水平线检验:如果每一条水平线和一个函数的图像相交至多一次, 那么这个函数就有一个反函数. 如果即使只有一条水平线和图像相交多于一次, 那么这个函数就没有反函数. 例如, 我们来看一下图 1-4 中 f (x) = x3g (x) = x2 的图像.

普林斯顿微积分读本(修订版)(7):函数、图像和直线 1.2.1

图 1-4

没有一条水平线和 y = f (x) 相交多于一次, 所以 f 有一个反函数. 另一方面, 一些水平线和曲线 y = g (x) 相交两次, 所以 g 没有反函数. 这里的问题在于:如果通过 y = x2 来求解 x, 其中 y 为正, 那么就会出现两个解:x=yx=y. 结果你不知道该取哪一个.

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