普林斯顿微积分读本(修订版)(10):函数、图像和直线 1.2.4

阅读数:9 2019 年 11 月 24 日 22:42

普林斯顿微积分读本(修订版)(10):函数、图像和直线 1.2.4

(反函数的反函数)

内容简介
本书是作者多年来给普林斯顿大学本科一年级学生开设微积分的每周复习课。本书专注于讲述解题技巧,目的是帮助读者学习一元微积分的主要概念。深入处理一些基本内容,还复习一些主题。本书不仅可以作为参考书,也可以作为教材,定会成为任何一位需要微积分知识人学习一元微积分的非常好的指导书。

有关反函数还有一点:如果 f 有反函数, 那么对于在 f 定义域中的所有 x, f-1 (f (x)) = x 成立 ; 同样, 对于在 f 值域当中的所有 y, 都有 f (f-1 (y)) = y. (记得, f 的值域和 f-1 的定义域相同, 所以对于 f 值域中的 y, 我们确实可以取到 f-1 (y), 不会导致任何曲解. )

例如 f (x) = x3, f 的反函数由 f1(x)=x3 给出, 所以对于任意的 x, f1(f(x))=x33=x. 不要忘记, 反函数就像是撤销按钮. 我们使用 x 作为 f 的输入, 然后给出输出到 f-1; 这撤销了变换并让我们取回了 x 这个原始的数. 类似地, f(f1(y))=(y3)3. 所以, f-1f 的反函数, 且 ff-1 的反函数. 换句话说, 反函数的反函数就是原始函数.

不过, 对于限制定义域的情况一定要当心. 令 g (x) = x2, 我们已经看到你需要对其定义域加以限制, 方能取得反函数. 设想我们把定义域限制为 [0, ∞), 但由于粗心大意而把函数继续看成是 g 而不是先前小节中那样的 h. 我们便会说 g1(x)=x. 如果你真要计算 g (g-1 (x)), 你就会发现它是 (x)2, 即等于 x, 只要 x ≥ 0. (当然,不是这样的话, 从一开始你就无法取得平方根. )

另一方面, 如果你解出 g-1 (g (x)), 你会得到 x2, 它不是总和 x 相同. 例如, 如果 x = -2, 那么 x2 = 4, x2=4=2. 所以一般而言, g-1 (g (x)) = x 不成立. 这里的问题在于, -2 没有在 g 的限制定义域当中. 而且, 从技术角度而言, 你甚至不可能计算 g (-2), 因为 -2 不再属于 g 的定义域了. 我们确实应该使用 h, 而不是 g, 以便提醒自己要更加小心. 不过在实践中, 数学家们在限制定义域时经常不会改变字母! 所以把这种情形总结如下对大家是很有帮助的.

如果一个函数 f 的定义域可以被限制, 使得 f 有反函数 f-1, 那么

  • 对于 f 值域中的所有 y, 都有 f (f-1 (y)) = y; 但是
  • f-1 (f (x)) 可能不等于 x; 事实上, f-1 (f (x)) = x 仅当 x 在限制的定义域中才成立.

在 10.2.6 节, 对于反三角函数, 我们会再次提到这些要点.

普林斯顿微积分读本(修订版)(10):函数、图像和直线 1.2.4

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