普林斯顿微积分读本(修订版)(15):三角学回顾 2&2.1

阅读数:8 2019 年 11 月 24 日 22:50

普林斯顿微积分读本(修订版)(15):三角学回顾 2&2.1

(三角学回顾)

内容简介
本书是作者多年来给普林斯顿大学本科一年级学生开设微积分的每周复习课。本书专注于讲述解题技巧,目的是帮助读者学习一元微积分的主要概念。深入处理一些基本内容,还复习一些主题。本书不仅可以作为参考书,也可以作为教材,定会成为任何一位需要微积分知识人学习一元微积分的非常好的指导书。

学习微积分必须要了解三角学. 说实话, 我们一开始不会碰到很多有关三角学的内容, 但当它们出现的时候, 会让我们感觉不容易. 因此, 我们不妨针对三角学最重要的一些方面进行一次全面的回顾:

  • 用弧度度量的角与三角函数的基本知识 ;
  • 实轴上的三角函数 (不只是介于 0° 和 90° 的角);
  • 三角函数的图像 ;
  • 三角恒等式.

准备开始回忆吧 ……


(基本知识)

首先要回忆的是弧度的概念. 旋转一周, 我们说成 2π 弧度而不是 360°. 这似乎有点古怪, 但这里也有一个理由, 那就是半径为 1 个单位的圆的周长是 2π 个单位. 事实上, 这个圆的一个扇形的弧长就是这个扇形的圆心角的弧度, 如图 2-1 所示.

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图 2-1

上图表示了一般情况, 但要紧的还是一些常用角的度和弧度表达. 首先, 你应该确实掌握, 90° 和 π/2 弧度是一样的. 类似地, 180° 和 π 弧度是一样的, 270° 和 3π/2 弧度是一样的. 一旦掌握了这几个角, 就试着将图 2-2 中所有的角在度与弧度之间来回转换吧.

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图 2-2

更一般地, 如果需要的话, 也可以使用公式

用弧度度量的角 =π180× 用度度量的角.

例如, 要想知道 5π/12 弧度是多少度, 可求解

5π12=π180× 用度计量的角,

你会发现 5π/12 弧度就是 (180/π) × (5π/12) = 75°. 事实上, 可以将弧度和度的转换看成是一种单位的转换, 如英里和公里的转换一样. 转换因数就是 π 弧度等于 180°.

到目前为止, 我们仅仅研究了角, 现在来看看三角函数吧. 显然, 你必须知道如何由三角形来定义三角函数. 假设我们有一个直角三角形, 除直角外的一角被记为 θ, 如图 2-3 所示. 那么, 基本公式为

sin (θ) = 普林斯顿微积分读本(修订版)(15):三角学回顾 2&2.1 , cos (θ) = 普林斯顿微积分读本(修订版)(15):三角学回顾 2&2.1 , tan (θ) = 普林斯顿微积分读本(修订版)(15):三角学回顾 2&2.1.

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图 2-3

当然, 如果变换了角 θ, 那么也必须变换其对边和邻边, 如图 2-4 所示. 毫不奇怪, 对边就是对着角 θ 的边, 而邻边则是挨着角 θ 的边. 不过, 斜边始终保持不变: 它是最长的那条边, 并始终对着直角.

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图 2-4

我们也会用到余割、正割和余切这些倒数函数, 它们的定义分别为

csc(x)=1sin(x),sec(x)=1cos(x),cot(x)=1tan(x).

如果你有计划要参加一次微积分的考试 (或者即便你没有), 我的一点建议是: 请熟记常用角 0, π/6, π/4, π/3, π/2 的三角函数值. 例如, 你能不假思索化简 sin (π/3) 吗?tan (π/4) 呢?如果你不能, 那么最好的情况下, 你通过画三角形来寻找答案, 从而白白浪费时间 ; 而最坏的情况下, 由于总是没有化简你的回答, 你白白丢掉分数。 解决的方法就是要熟记下表.

0 π6 π4 π3 π2
sin 0 12 12 32 1
cos 1 32 12 12 0
tan 0 13 1 3

表中的星号表示 tan (π/2) 无定义. 事实上, 正切函数在 π/2 处有一条垂直渐近线 (从图像上看会很清楚, 我们将在 2.3 节对此进行研究). 无论如何, 你必须能够熟练地说出该表中的任意一项, 而且来回都要掌握! 这意味着你必须能够回答两类问题. 这两类问题的例子是:

(1) sin (π/3) 是什么?(使用该表, 答案是 3/2. )

(2) 介于 0 到 π/2, 其正弦值为 3/2 的角是什么?(显然, 答案是 π/3. )

当然, 你必须能够回答该表中的每一项所对应的这两类问题. 就算我求大家了, 请背熟这张表! 数学不是死记硬背, 但有些内容是值得记忆的, 而这张表一定位列其中. 因此, 无论是制作记忆卡片, 让你的朋友来测验你, 还是每天抽一分钟记忆, 不管用什么办法, 请背熟这张表.

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图灵地址 http://www.ituring.com.cn/book/1623

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