普林斯顿微积分读本(修订版)(2):函数、图像和直线 1.1.1

阅读数:6 2019 年 11 月 24 日 22:42

普林斯顿微积分读本(修订版)(2):函数、图像和直线 1.1.1

(区间表示法)

内容简介
本书是作者多年来给普林斯顿大学本科一年级学生开设微积分的每周复习课。本书专注于讲述解题技巧,目的是帮助读者学习一元微积分的主要概念。深入处理一些基本内容,还复习一些主题。本书不仅可以作为参考书,也可以作为教材,定会成为任何一位需要微积分知识人学习一元微积分的非常好的指导书。

在本书剩余部分, 函数总有上域 R, 并且其定义域总会尽可能和 R 差不多 (除非另有说明). 因此, 我们会经常涉及实轴的子集, 尤其是像 {x : 2 ≤ x < 5} 这样的连通区间. 像这样写出完整的集合有点儿烦, 但总比说 “介于 2 和 5 之间的所有数, 包括 2 但不包括 5” 要强. 使用区间表示法会让我们做得更好.

我们约定, [a, b] 是指从 ab 端点间的所有实数, 包括 ab. 所以 [a, b] 指的是所有使得 axb 成立的 x 的集合. 例如, [2, 5] 是所有介于 2 和 5 之间 (包括 2 和 5) 的实数的集合. (它不仅仅包括 2、3、4 和 5, 不要忘记还有一大堆处于 2 和 5 之间的分数和无理数, 比如 5/2、7 和 π.) 像 [a, b] 这种形式表示的区间我们称作闭区间.

如果你不想包括端点, 把方括号变为圆括号就行了. 所以 (a, b) 指的是介于 ab 之间但不包括 ab 的所有实数的集合. 这样, 如果 x 在区间 (a, b) 中, 我们就知道 a < x < b. 集合 (2, 5) 表示介于 2 和 5 之间但不包括 2 和 5 的所有实数的集合. 像 (a, b) 这种形式表示的区间称作开区间.

你也可以混和匹配:[a, b) 指的是介于 ab 之间、包括 a 但不包括 b 的所有实数的集合 ; (a, b] 包括 b, 但不包括 a. 这些区间在一个端点处是闭的, 而在另一个端点处是开的. 有时候, 像这样的区间称作半开区间. 上述的 {x : 2 ≤ x < 5} 就是一个例子, 也可以写成 [2, 5).

还有一个有用的记号就是 (a, ∞), 它是指大于 a 但不包括 a 的所有数 ; [a, ∞) 也一样, 只是它包括 a. 此外还有三个涉及 -∞ 的可能性. 总而言之, 各种情况如下.

普林斯顿微积分读本(修订版)(2):函数、图像和直线 1.1.1

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