普林斯顿微积分读本(修订版)(3):函数、图像和直线 1.1.2

阅读数:10 2019 年 11 月 24 日 22:42

普林斯顿微积分读本(修订版)(3):函数、图像和直线 1.1.2

(求定义域)

内容简介
本书是作者多年来给普林斯顿大学本科一年级学生开设微积分的每周复习课。本书专注于讲述解题技巧,目的是帮助读者学习一元微积分的主要概念。深入处理一些基本内容,还复习一些主题。本书不仅可以作为参考书,也可以作为教材,定会成为任何一位需要微积分知识人学习一元微积分的非常好的指导书。

有时候, 函数的定义中包括了定义域. (例如, 1.1 节中的函数 g 就是如此.) 然而在大多数情况下, 定义域是没有给出的. 通常的惯例是, 定义域包括实数集尽可能多的部分. 例如 k(x)=x, 其定义域就不可能是 R 中的所有实数, 因为不可能得到一个负数的平方根. 其定义域一定是 [0, ∞), 就是大于或等于 0 的所有实数的集合.

好了, 我们知道取负数的平方根会出问题. 那么还有什么会把问题搞糟呢?以下是三种最常见的情况.

(1) 分数的分母不能是零.

(2) 不能取一个负数的平方根 (或四次根, 六次根, 等等).

(3) 不能取一个负数或零的对数. (还记得对数函数吗?若忘了, 请看看第 9 章!)

或许你还记得 tan(90°) 也是一个问题, 但这实际上是上述第一种情况的特例. 你看,

tan(90)=sin(90)cos(90)=10,

tan(90°) 之所以是无定义的, 实际上是因为其隐藏的分母为零. 这里还有一个例子: 如果定义

f(x)=log10(x+8)262x(x2)(x+19),

那么 f 的定义域是什么呢?当然, 为了使 f (x) 有意义, 以下是我们必须要做的.

  • 取 (26 - 2_x_) 的平方根, 所以这个量必须是非负的. 也就是说, 26 - 2_x_ ≥ 0. 这可以写成 x ≤ 13.
  • 取 (x + 8) 的对数, 所以这个量必须是正的. (注意对数和平方根的区别:可以取 0 的平方根, 但不能取 0 的对数.) 不管怎么说, 我们需要 x + 8 > 0, 所以 x > -8. 到现在为止, 我们知道 -8 < x ≤ 13, 所以其定义域最多是 (-8, 13].
  • 分母不能为 0, 这就是说 (x - 2) ≠ 0 且 (x + 19) ≠ 0. 换句话说, x ≠ 2 且 x ≠ -19. 最后一个条件不是问题, 因为我们已经知道 x 处于 (-8, 13] 内, 所以 x 不可能是 -19. 不过, 我们确实应该把 2 去掉.

这样就找到了其定义域是除了 2 以外的集合 (-8, 13]. 这个集合可以写作 (-8, 13] \ {2}, 这里的反斜杠表示 “不包括”.

普林斯顿微积分读本(修订版)(3):函数、图像和直线 1.1.2

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