普林斯顿微积分读本(修订版)(19):三角学回顾 2.3

阅读数:9 2019 年 11 月 24 日 22:50

普林斯顿微积分读本(修订版)(19):三角学回顾 2.3

(三角函数的图像)

内容简介
本书是作者多年来给普林斯顿大学本科一年级学生开设微积分的每周复习课。本书专注于讲述解题技巧,目的是帮助读者学习一元微积分的主要概念。深入处理一些基本内容,还复习一些主题。本书不仅可以作为参考书,也可以作为教材,定会成为任何一位需要微积分知识人学习一元微积分的非常好的指导书。

记住正弦、余弦和正切函数的图像会非常有用. 这些函数都是周期的, 这意味着, 它们从左到右反复地重复自己. 例如, 我们考虑 y = sin (x). 从 0 到 2π 的图像看上去如图 2-14 所示.

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图 2-14

你应该做到能够不假思索就画出这个图像, 包括 0, π/2, π, 3π/2 和 2π 的位置. 由于 sin (x) 以 2π 为单位重复 (我们说 sin (x) 是 x 的周期函数, 其周期为 2π), 通过重复该模式, 我们可以对图像进行扩展, 得到图 2-15.

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图 2-15

从图像中读值, 可以看到 sin (3π/2) = -1, sin (-π) = 0. 正如之前注意到的, 你应该这样去处理 π/2 的倍数的问题, 而不用再找参考角那么麻烦了. 另一个值得注意的是, 该图像关于原点有 180° 点对称性, 这意味着, sin (x) 是 x 的奇函数. (我们在 1.4 节中分析过奇偶函数.)

y = cos (x) 的图像和 y = sin (x) 的图像类似. 当 x 在从 0 到 2π 上变化时, 它看起来就像图 2-16.

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图 2-16

现在, 利用 cos (x) 是周期函数及其周期为 2π 这一事实, 可对该图像进行扩展, 得到图 2-17.

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图 2-17

例如, 如果你想要求 cos (π), 只需从图像上读取, 你会看到结果是 -1. 此外, 注意到该图像关于 y 轴有镜面对称性. 这说明, cos (x) 是 x 的偶函数.

现在, y = tan (x) 略有不同. 最好是先画出 x 介于 -π/2 到 π/2 的图像, 如图 2-18 所示.

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图 2-18

与正弦函数和余弦函数不同的是, 正切函数有垂直渐近线. 此外, 它的周期是 π, 而不是 2π. 因此, 上述图样可以被重复以便得到 y = tan (x) 的全部图像, 如图 2-19 所示.

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图 2-19

很明显, 当 x 是 π/2 的奇数倍数时, y = tan (x) 有垂直渐近线 (因而此处是无定义的). 此外, 图像的对称性表明, tan (x) 是 x 的奇函数.

y = sec (x)、y = csc (x) 及 y = cot (x) 的函数图像也值得我们去学习, 它们分别如图 2-20、图 2-21 及图 2-22 所示.

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图 2-20

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图 2-21

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图 2-22

从它们的图像中, 可以得到所有六个基本三角函数的对称性的性质, 这些也都值得学习.

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因此, 对于所有的实数 x, 我们有 sin (-x) = -sin (x), tan (-x) = -tan (x), cos (-x) = cos (x).

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图灵地址 http://www.ituring.com.cn/book/1623

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