普林斯顿微积分读本(修订版)(12):函数、图像和直线 1.4

阅读数:10 2019 年 11 月 24 日 22:50

普林斯顿微积分读本(修订版)(12):函数、图像和直线 1.4

(奇函数和偶函数)

内容简介
本书是作者多年来给普林斯顿大学本科一年级学生开设微积分的每周复习课。本书专注于讲述解题技巧,目的是帮助读者学习一元微积分的主要概念。深入处理一些基本内容,还复习一些主题。本书不仅可以作为参考书,也可以作为教材,定会成为任何一位需要微积分知识人学习一元微积分的非常好的指导书。

一些函数具有对称性, 这便于对它们进行讨论. 考虑定义为 f (x) = x2 的函数 f , 任选一个正数 (我选 3) 作用于函数 f (得到 9). 现在取该数的负值, 由我选择的数可得 -3, 将其作用于函数 f (又得到 9). 不论你选择的是几, 应该跟我一样, 两次得到了相同的值. 你可将这种现象表示为, 对所有的 x, 有 f (-x) = f (x). 也就是说, 将 x 作为 f 的输入和将 -x 作为输入, 会得到一样的结果. 注意到 g(x) = x4h(x) = x6 同样具有这种性质. 事实上, 当 n 是偶数时 (n 可以是负数), j(x) = xn 具有相同的性质. 受以上讨论的启发, 我们说, 如果对 f 定义域里的所有 xf (-x) = f (x), 则 f 是偶函数. 这个等式对某些 x 值成立是不够的, 它必须对定义域里的所有x 都成立.

现在, 我们对函数 f (x)= x3 做相同的讨论. 选择你喜欢的任一正数 (我仍选 3) 作用于 f (得到 27). 用你选的数的负值再试一遍, 我的数的负值是 -3, 得到 -27, 你同样应该得到先前结果的负值. 可以用数学方式将其表示为 f (-x) = -f (x). 同样地, 当 n 是奇数时 (n 可以是负数), j(x) = xn 具有相同的性质. 因此我们说, 当对 f 定义域内所有 x 都有 f (-x) = -f (x) 时, f 是奇函数.

一般而言, 一个函数可能是奇的, 可能是偶的, 也可能非奇非偶. 要记住这一点, 大多数函数是非奇非偶的. 另一方面, 只有一个函数是既奇又偶的, 它就是非常单调的对所有 x 都成立的 f (x) = 0(我们称之为零函数). 它为什么是唯一的既奇又偶的函数呢?我们证明一下. 若函数 f 是偶函数, 则对所有 xf (-x) = f (x); 但如果同时它又是奇的, 则对所有 xf (-x) = -f (x), 用第一个等式减去第二个等式, 得到 0 = 2_f_ (x), 即 f (x) = 0, 这对所有 x 成立, 因此函数 f 一定是零函数. 另一个有用的结论是, 如果一个函数是奇的, 并且 0 在其定义域内, 则 f (0) = 0. 为什么呢?由于对定义域里的所有 x, f 都有 f (-x) = -f (x), 我们用 0 试一下. 我们得 f (-0) = f (0), 但 -0 等于 0, 因此 f (0) = -_f (0), 化简得 2_f (0) = 0, 即 f (0) = 0.

不论如何, 对于一个函数 f , 怎么来判定它是奇函数、偶函数或都不是呢?若是奇函数或偶函数又怎样呢?我们先来看下第二个问题, 然后再讨论第一个问题. 当知道一个函数的奇偶性之后, 一个比较好的事情就是画函数图像比较容易了. 事实上, 如果你能将这个函数的右半边图像画出来, 那么画左半边图像就是小菜一碟. 我们先讨论当 f 是偶函数时的情形. 因 f (x) = f (-x), y = f (x) 的图像在 x 和 -x 坐标上方具有相同的高度, 且对所有的 x 都成立, 如图 1-10 所示.

普林斯顿微积分读本(修订版)(12):函数、图像和直线 1.4

图 1-10

我们得到这样的结论:偶函数的图像关于 y 轴具有镜面对称性. 所以当你画出偶函数的右半边图像后, 就可以通过将其图像关于 y 轴反射得到它的左半边图像. 不妨用 y = x2 的图像检验一下它的镜面对称性.

另一方面, 假设 f 是奇函数. 因 f (-x) = -f(x), y = f (x) 图像在 x 坐标上方和 -x 坐标下方具有相同的高度. (当然, 若 f (x) 是负的, 你可以调换一下 “上方” 和 “下方” 两个词.) 不论如何, 其图像如图 1-11 所示.

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图 1-11

现在的对称性是关于原点的点对称, 即奇函数的图像关于原点有 180° 的点对称性. 这就意味着, 如果你只有奇函数的右半边图像, 你可按下面的方法得到其左半边的图像. 想象该曲线是浮在纸面上, 你能够把它拿起来但不能改变它的形状. 不过, 你没有把它拿起来, 而是用大头针在原点处把曲线钉住 (回想一下, 奇函数若在 0 处有定义, 它必定通过原点), 然后将整个曲线旋转半圈, 这样就得到左半边图像的样子了. (如果曲线是不连续的, 即不是连在一起的一条, 这个方法就不那么好用了.) 可验证一下, 上面的图像和函数 y = x3 的图像都具有这样的对称性.

现在假设 f 定义为 f (x) = log5(2_x_6 - 6_x_2 + 3), 你怎么确定 f 是奇函数、偶函数, 还是都不是呢?方法就是, 将每个 x 替换为 (-x) 并计算 f (-x), 一定要记着给 -x 加上小括号, 然后化简结果. 如果你得出了原始表达式 f (x), f 就是偶的 ; 如果得到原始表达式的负值 f (-x), f 就是奇的 ; 如果得到的结果一团糟, 既不是 f (x) 也不是 =f (x), 则 f 就非奇非偶 (或之前的化简不充分). 由上例, 可得

f(x)=log5(2(x)66(x)2+3)=log5(2x66x2+3),

本式实际上等于 f (x) 本身, 因此函数 f 是偶的. 那函数

g(x)=2x3+x3x2+5h(x)=2x3+x13x2+5

的奇偶性又如何呢?对函数 g, 我们有

g(x)=2(x)3+(x)3(x)2+5=2x3x3x2+5.

现在可把负号提到前面来, 得到

g(x)=2x3+x3x2+5,

注意到结果等于 -g (x), 即除了负号以外, 剩下部分就是原始函数, 因此 g 是奇函数. 那函数 h 呢?我们有

h(x)=2(x)3+(x)13(x)2+5=2x3x13x2+5.

我们再次把负号提到前面来, 得到

h(x)=2x3+x+13x2+5.

嗯, 看起来这不是原始函数的负值, 因为分子上有个 +1. 它也不是原始函数本身, 所以函数 h 是非奇非偶的.

我们再看一个例子. 若想证明两个奇函数之积是偶函数, 该怎么做呢?先给事物命名比较利于讨论, 我们就定义有两个奇函数 fg. 我们需要看一下它们的乘积, 因此定义它们的积为 h, 即定义了 h(x) = f (x)g(x), 而我们的任务是要证明 h 是偶的. 像往常一样, 我们需要证明 h(-x) = h(x). 因 fg 都是奇的, 注意到 f (-x) = -f (x), g(-x) = -g(x) 会有所帮助. 我们从 h(-x) 开始. 由于 hfg 的乘积, 有 h(-x) = f (-x)g(-x). 再利用 fg 的奇函数性质将等式右边表示为 (-f (x))(-g (x)), 负号提到前面消掉, 由此得到 f (x)g(x), 而它当然等于 h(x). 我们可以 (也应该) 把上述过程用数学式表示为

h(x)=f(x)g(x)=(f(x))(g(x))=f(x)g(x)=h(x).

总之, 由 h(-x) = h(x) 可得函数 h 是偶函数. 现在你应该可以证明两偶函数之积仍为偶函数, 奇函数和偶函数之积是奇函数. 马上试一下吧!

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